với là toán tử Laplace, là hằng số, và hàm số chưa biết được định nghĩa trên không gian Euclidn-chiều Rn (thông thường n=1, 2, hay 3, khi nghiệm của phương trình này có ý nghĩa vật lý).
Phương trình Helmholtz thường xuất hiện trong các nghiên cứu về các bài toán vật lý liên quan đến phương trình đạo hàm riêng trong cả không gian và thời gian. Phương trình Helmholtz, đại diện cho dạng không phụ thuộc vào thời gian của phương trình nguyên thủy, thường là kết quả của việc áp dụng kĩ thuật phân tách biến để làm giảm độ phức tạp của việc phân tích bài toán.
Dạng tương tự của sợi dây rung động trong không gian 2 chiều là một tấm mỏng rung động, với cạnh của tấm được kẹp lại bất động. Phương trình Helmholtz được giải cho nhiều dạng cơ bản trong thế kỉ thứ 19: tấm mỏng hình chữ nhật bởi Siméon Denis Poisson vào năm 1829, tấm hình tam giác đều bởi Gabriel Lamé vào năm 1852, và tấm mỏng hình tròn bởi Alfred Clebsch vào năm 1862. Hình mặt trống bầu dục được nghiên cứu bởi Emile Mathieu, dẫn đến phương trình vi phân Mathieu. Các hình dạng giải được đều tương ứng với những hình dạng mà bảng billiard động là tích phân được, nghĩa là không hỗn loạn.
Nếu miền là một hình tròn đường kính a, thường người ta đổi sang tọa độ cực r và θ. Phương trình Helmholtz bây giờ có dạng
Chúng ta có thể giả sử điều kiện biên là A biến mất nếu r=a; do vậy
Phương pháp phân tích biến dẫn đến nghiệm thử có dạng
với Θ phải tuần hoàn với chu kì 2π. Điều này dẫn tới
và
Do điều kiện tuần hoàn nên ta có
và rằng n phải là một số nguyên. Phần theo bán kính R có dạng
và ρ=kr. Hàm số theo bán kính Jn
có vô số nghiệm với mỗi giá trị của n, ký hiệu bởi ρm,n. Điều kiện biên rằng A bằng 0 với r=a sẽ được thỏa mãn nếu như chu kì tương ứng được cho bởi
Nghiệm tổng quát A sau đó sẽ là chuỗi kép vô hạn của các hạng tử với tích của các
Những nghiệm này là những tần số rung động của một mặt trống hình tròn.
là những hàm cầu điều hòa (Abramowitz và Stegun, 1964). Chú ý là những dạng này là những nghiệm tổng quát, và cần những điều kiện biên để sử dụng ở các trường hợp cụ thể. Với những miền bên ngoài kéo ra vô hạn, một điều kiện phát xạ có thể là cần thiết (Sommerfeld, 1949).
This equation has important applications in the science of optics, ở đó nó provides solutions that describe the propagation of electromagnetic waves (light) in the form of either paraboloidal waves or Gaussian beams. Most lasers emit beams that take this form.
where A represents the complex-valued amplitude of the electric field, which modulates the sinusoidal plane wave represented by the exponential factor.
The paraxial approximation places certain upper limits on the variation of the amplitude function A with respect to longitudinal distance z. Specifically:
and
These conditions are equivalent to saying that the angle θ between the wave vectork and the optical axis z must be small enough so that
uniformly in with , where the vertical bars denote the Euclidean norm.
With this condition, the solution to the inhomogeneous Helmholtz equation is the convolution
(notice this integral is actually over a finite region, since has compact support). Here, is the Green's function of this equation, that is, the solution to the inhomogeneous Helmholtz equation with equaling the Dirac delta function, so satisfies
The expression for the Green's function depends on the dimension of the space. One has
M. Abramowitz and I. Stegun eds., Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, National Bureau of Standards. Washington, D. C., 1964.
Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J. (2002). Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ch. 19. ISBN 0-521-89067-5.
McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books: Sausalito, California, Ch. 16. ISBN 1-891389-24-6.
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich (1991). Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5. Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, New York, 1949.
Howe, M. S. (1998). Acoustics of fluid-structure interactions. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN0-521-63320-6.