Trường cyclotomic

Trong lý thuyết số, trường cyclotomic là trường số có được bằng cách mở rộng thêm căn đơn vị phức cho Q là trường các số hữu tỉ.

Trừong cyclotomic đóng vai trò quan trọng trong phát triển đại số hiện đại và lý thuyết số bởi quan hệ của nó với định lý lớn Fermat. Fermat dùng nó trong quá trình nghiên cứu các phép tính trong các trường cho số nguyên tố n) – và chính xác hơn thì, do không thể phân tích duy nhất trong các vành nguyên .

Định nghĩa

Với n ≥ 1, đặt ζ_n = e^2πi/n ∈ C; là căn đơn vị nguyên thủy thứ n. Trường cyclotomic thứ n là mở rộng Q(ζ_n) của Q sinh bởi ζ_n.

Tính chất

• Đa thức cyclotomic thứ n

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\!\!\!\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\left(x-e^{2\pi ik/n}\right)=\!\!\!\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!(x-{\zeta _{n}}^{k})}$

không phân tích được, nên nó là đa thức tối tiểu của ζ_n trên Q.

• Liên hợp của ζ_n trong C cũng là căn đơn vị nguyên thủy thứ n: ζ^k
  _n với 1 ≤ k ≤ n và gcd(k, n) = 1.
• Bậc của Q(ζ_n) là [Q(ζ_n) : Q] = deg Φ_n = φ(n), với φ là hàm phi Euler.
• Các nghiệm của xⁿ − 1 là lũy thừa của ζ_n, nên Q(ζ_n) là trường phân rã của xⁿ − 1 (hoặc của Φ(x)) trên Q.
• Do đó, Q(ζ_n) là mở rộng Galois của Q.
• Nhóm Galois ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )}$ đẳng cấu tự nhiên với nhóm nhân ${\displaystyle (\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }}$, bao gồm các giá trị dư khả nghịch modulo n, tức là các giá trị a mod n với 1 ≤ a ≤ n và gcd(a, n) = 1. Phép đẳng cấu biến mỗi ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )}$ thành a mod n, với a là số nguyên sao cho σ(ζ_n) = ζ^a
  _n.
• Vành số nguyên của Q(ζ_n) là Z[ζ_n].
• Với n > 2, biệt thức của mở rộng Q(ζ_n) / Q là:^[1]

${\displaystyle (-1)^{\varphi (n)/2}\,{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}.}$

Tham khảo

1. Washington 1997, Proposition 2.7.Lỗi sfn: không có mục tiêu: CITEREFWashington1997 (trợ giúp)