Vành Euclid

Trong toán học, cụ thể hơn là trong đại số giao hoán, một vành Euclid là một miền nguyên cùng với một hàm Euclid cho phép thực hiện phép chia có dư.

Định nghĩa

[sửa | sửa mã nguồn]

Một vành Euclid là một vành R cùng với một hàm f (được gọi là hàm Euclid) xác định trên R\{0} vào tập các số nguyên không âm thỏa mãn hai điều kiện sau

  • (E1) Nếu ab thuộc Rb khác không, thì tồn tại qr trong R sao cho a = bq + r với r = 0 hoặc f (r) < f (b).
  • (E2) Với mọi cặp ab khác 0 trong R, f (a) ≤ f (ab).[1]

Tuy nhiên, người ta có thể chỉ ra rằng (E1) là đủ để xác định vành Euclid, vì bất kỳ miền R nào cùng với một hàm g thỏa mãn (E1) cũng có thể được trang bị một hàm f thỏa mãn (E1) và (E2). Thật vậy, với aR \{0 }, ta định nghĩa f (a) như sau:[2]

Từ đó, ta có thể thực hiện phép chia. q được gọi là thương và r được gọi là số dư. Lưu ý rằng một vành có thể có nhiều hàm Euclid; và một hàm Euclid có thể cho nhiều kết quả thương và số dư khả dĩ.

Hàm được gắn với vành Euclid còn được gọi là hàm bậc, hàm định chuẩn, chuẩn, định chuẩn, bậc, hàm gauge,...

Ví dụ về các vành Euclid bao gồm:

  • Mọi trường đều là vành Euclid. Xác định f (x) = 1 cho tất cả các số x khác không.
  • Z, vành các số nguyên. Xác định f (n) = |n|, giá trị tuyệt đối của n.[3]
  • Z[ i ], vành các số nguyên Gauss. Xác định f (a + bi) = a2 + b2, chuẩn của số nguyên Gauss a + bi.
  1. ^ Nguyễn Thị Như Quỳnh (2017), Định nghĩa 1.9
  2. ^ Rogers, Kenneth (1971), "The Axioms for Euclidean Domains", American Mathematical Monthly, 78 (10): 1127–1128, doi:10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007
  3. ^ Fraleigh & Katz (1967), p. 377, Example 1

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
  • John B. Fraleigh, Victor J. Katz. Một khóa học đầu tiên trong đại số trừu tượng. Công ty xuất bản Addison-Wesley. 5 ed., 1967. ISBN 0-201-53467-3 Mã số   0-201-53467-3
  • Nguyễn Thị Như Quỳnh, 2017, Vành chính, vành Euclid và ứng dụng, Khóa luận tốt nghiệp đại học
  • Pierre Samuel, "Giới thiệu về các vành Euclide", Tạp chí Đại số 19 (1971) 282-301.
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
Có thể Celestia đã hạ sát Guizhong
Có thể Celestia đã hạ sát Guizhong
Ma Thần Bụi Guizhong đã đặt công sức vào việc nghiên cứu máy móc và thu thập những người máy cực kì nguy hiểm như Thợ Săn Di Tích và Thủ Vệ Di Tích
Nữ thợ săn rừng xanh - Genshin Impact
Nữ thợ săn rừng xanh - Genshin Impact
Nữ thợ săn không thể nói chuyện bằng ngôn ngữ loài người. Nhưng cô lại am hiểu ngôn ngữ của muôn thú, có thể đọc hiểu thơ văn từ ánh trăng.
Vì sao cảm xúc quan trọng đối với quảng cáo?
Vì sao cảm xúc quan trọng đối với quảng cáo?
Cảm xúc có lẽ không phải là một khái niệm xa lạ gì đối với thế giới Marketing
Pháp quốc Slane (スレイン法国) - Overlord
Pháp quốc Slane (スレイン法国) - Overlord
Pháp quốc Slane (スレイン法国) là quốc gia của con người do Lục Đại Thần sáng lập vào 600 năm trước trong thế giới mới.