Vành chính

Trong toán học, một vành chính (hay một PID - principle ideal domain) là một miền nguyên mà mọi i-đê-an đều là i-đê-an chính, tức sinh bởi một phần tử duy nhất.^[1]

Một vành giao hoán i-đê-an chính là một vành giao hoán mà trong đó mọi i-đê-an là i-đê-an chính (nó khác với vành chính ở chỗ nó có thể có ước của 0).

Một vành i-đê-an chính là một vành (không nhất thiết giao hoán) mà trong đó mọi i-đê-an là i-đê-an chính.

Ví dụ

• ${\displaystyle K}$: bất kỳ trường nào,
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$: vành số nguyên,^[2]
• ${\displaystyle K[x]}$: các vành đa thức
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$: vành số nguyên Gauss ^[3],

Phản ví dụ

Một số vành không phải là PID

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]}$ không phải là một vành phân tách duy nhất, vì ${\displaystyle 4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}).}$ Do đó nó không phải là một PID.

Ghi chú

1. Nghiêm Xuân Cảnh (2008), Định nghĩa 1.4.1.3
2. Xem Fraleigh & Katz (1967), tr. 73, Corollary of Theorem 1.7, và ghi chú tr. 369, sau corollary of Theorem 7.2
3. Xem Fraleigh & Katz (1967), tr. 385, Theorem 7.8 và tr. 377, Theorem 7.4.

Tham khảo

• John B. Fraleigh, Victor J. Katz. Một khóa học đầu tiên trong đại số trừu tượng. Công ty xuất bản Addison-Wesley. 5 ed., 1967. ISBN 0-201-53467-3
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, VV Kirichenko. Đại số, vành và mô-đun. Nhà xuất bản học thuật Kluwer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• Nathan Jacobson. Đại số cơ bản I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1
• Nghiêm Xuân Cảnh (2008), Mô đun tự do trên vành chính, (Luận văn thạc sĩ toán học), Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh
• Paulo Ribenboim. Lý thuyết cổ điển về số đại số. Mùa xuân, 2001. ISBN 0-387-95070-2

Liên kết ngoài

• Principal ring trên MathWorld