Bất đẳng thức Agmon

Trong giải tích toán học, các bất đẳng thức Agmon bao gồm hai bất đẳng thức nội suy có liên quan chặt chẽ giữa các không gian ${\displaystyle L^{\infty }}$ và không gian Sobolev ${\displaystyle H^{s}}$, rất hữu ích trong việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Kết quả này được đặt tên theo Shmuel Agmon, nhà toán học người Israel.^[1]

Phát biểu

Cho ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$, trong đó ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{k}}$ với ${\displaystyle k=2,3}$ khi đó bất đẳng thức Agmon khẳng định tồn tại hằng số ${\displaystyle C}$ sao cho

• Trường hợp ${\displaystyle k=2}$:

${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}}$

• Trường hợp ${\displaystyle k=3}$:

${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}}$

và

${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/4}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{3/4}}$.

• Đối với trường hợp tổng quát ${\displaystyle n-}$chiều: chọn ${\displaystyle s_{1},s_{2}}$ sao cho ${\displaystyle s_{1}<{\frac {n}{2}}<s_{2}}$. Khi đó, nếu ${\displaystyle 0<\theta <1}$ và ${\displaystyle {\frac {n}{2}}=\theta s_{1}+(1-\theta )s_{2}}$, tồn tại hằng số ${\displaystyle C}$ sao cho

${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{s_{1}}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{H^{s_{2}}(\Omega )}^{1-\theta }}$

với mọi ${\displaystyle u\in H^{s_{2}}(\Omega )}$.

Xem thêm

• Bất đẳng thức Ladyzhenskaya

Tài liệu tham khảo

1. Lemma 13.2, in: Agmon, Shmuel,  Lectures on Elliptic Boundary Value Problems, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2010. ISBN 978-0-8218-4910-1.

• Agmon, Shmuel (2010). Lectures on elliptic boundary value problems. Providence, RI: AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-4910-1.
• Foias, Ciprian; Manley, O.; Rosa, R.; Temam, R. (2001). Navier-Stokes Equations and Turbulence. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36032-3.