Cây van Emde Boas

cây van Emde Boas
Thể loại	cây
Năm phát minh	1977
Phát minh bởi	Peter van Emde Boas
Độ phức tạp theo ký hiệu O lớn
Bộ nhớ	O(M)
Tìm kiếm	O(log log M)
Chèn	O(log log M)
Xóa	O(log log M)

Cây van Emde Boas (hay hàng đợi ưu tiên van Emde Boas), còn gọi là cây vEB, là một cấu trúc dữ liệu cây để biểu diễn mảng liên hợp có khóa là số tự nhiên m bit. Nó thực hiện mỗi thao tác trong thời gian O(log m). Cấu trúc dữ liệu này được tìm ra bởi một nhóm lãnh đạo bởi Peter van Emde Boas năm 1977.^[1]

Các thao tác

Cây vEB cho phép thực hiện các thao tác của mảng liên hợp có thứ tự, bao gồm:^[2]

• Chèn: chèn một cặp khóa/giá trị với 1 khóa m bit
• Xóa: xóa một cặp khóa/giá trị với 1 khóa cho trước
• Tìm: tìm giá trị liên hợp với 1 khóa cho trước
• Tìm phần tử sau: tìm cặp khóa/giá trị có khóa nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng k
• Tìm phần tử trước: tìm cặp khóa/giá trị có khóa lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng k.

Phương thức hoạt động

Một cây Van Emde Boas cùng với cấu trúc hỗ trợ của nút gốc sau khi đã chèn 1, 2, 3, 5, 8 và 10.

Cho đơn giản, giả sử log₂ m = k với k là số tự nhiên. Giả sử M=2^m. Một cây vEB T cho tập hợp {0,..., M-1} có nút gốc chứa 1 mảng mang tên T.con có kích thước M^1/2. T.con[i] là con trỏ đến cây vEB con lưu trữ các giá trị trong khoảng {iM^1/2,...,(i+1)M^1/2-1}. Ngoài ra T chứa hai giá trị T.min và T.max cùng với một cây vEB hỗ trợ T.aux.

Dữ liệu trong cây vEB được lưu trữ như sau. Giá trị nhỏ nhất được lưu trong T.min và giá trị lớn nhất được lưu trong T.max. Hai giá trị này không được lưu tại bất kì nơi nào khác trong cây. Nếu T là rỗng, ta quy ước T.max=-1 và T.min=M. Các giá trị còn lại được lưu trong các cây con. Giá trị x được lưu trong cây con T.con[i] trong đó ${\displaystyle i=\lfloor x/M^{1/2}\rfloor }$. Cây hỗ trợ T.aux lưu trữ các cây con khác rỗng. Nghĩa là T.aux chứa giá trị j khi và chỉ khi T.con[j] là khác rỗng.

Tham khảo

• Erik Demaine, Shantonu Sen, and Jeff Lindy. Massachusetts Institute of Technology. 6.897: Advanced Data Structures (Spring 2003). Lecture 1 notes: Fixed-universe successor problem, van Emde Boas. Lecture 2 notes: More van Emde Boas,....

Ghi chú

1. Peter van Emde Boas, R. Kaas, and E. Zijlstra: Design and Implementation of an Efficient Priority Queue (Mathematical Systems Theory 10: 99-127, 1977)
2. Gudmund Skovbjerg Frandsen: Dynamic algorithms: Course notes on van Emde Boas trees (PDF) Lưu trữ 2015-09-23 tại Wayback Machine (University of Aarhus, Department of Computer Science)