Dao động điều hòa đơn giản

Dao động điều hòa đơn giản (hay dao động điều hòa đơn tần, hay đôi khi được gọi ngắn gọn là dao động điều hòa) là một dao động có ly độ biến thiên theo thời gian theo hàm điều hòa và ở tần số và biên độ không đổi theo thời gian. Vị trí của một vật chuyển động theo dao động điều hòa đơn, x(t) có thể biểu diễn phụ thuộc vào thời gian t theo công thức:

${\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi \!ft+\phi \right),}$

Với A là biên độ, f là tần số, φ là pha.

Mọi chuyển động có biên độ biến đổi theo thời gian một cách tuần hoàn, đều có thể được phân tích thành tổng các biến đổi theo dao động điều hòa đơn, sau khi áp dụng biến đổi Fourier.

Dao động điều hòa đơn thể hiện sóng đơn sắc hay đơn tần. Nguồn gốc của chữ đơn sắc là sóng điện từ trong giải phổ ánh sáng nếu có điện trường và từ trường tại một vị trí dao động điều hòa đơn (ở một tần số duy nhất) thì ứng với một màu sắc và là ánh sáng đơn sắc.

Phương trình động lực học của dao động điều hòa đơn giản

Ví dụ một lò xo khi bị kéo (hay nén) một khoảng y khỏi vị trí cân bằng sẽ sinh ra lực đàn hồi khiến lò xo quay trở về vị trí cân bằng:

${\displaystyle F=-ky\,}$

với k là hệ số đàn hồi của lò xo.

Lực này gây nên gia tốc chuyển động a cho vật thể khối lượng m treo trên lò xo

${\displaystyle F=ma\,}$

Do đó:

${\displaystyle ma=-ky\,}$

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}=-ky}$ ${\displaystyle (1)\,}$

${\displaystyle (1)\,}$ có phương trình đặc trưng ${\displaystyle u^{2}=-{\frac {k}{m}}=-\omega ^{2}\,}$

Có nghiệm phức ${\displaystyle u=\pm \omega i\,}$

Từ công thức nghiệm tổng quát: ${\displaystyle y(t)=e^{\alpha t}\left(c_{1}\cos \left(\beta t\right)+c_{2}\sin \left(\beta t\right)\right)\,}$ (với ${\displaystyle \alpha \,}$ là phần thực, ${\displaystyle \beta \,}$ là phần ảo của nghiệm phức).

Tìm được một nghiệm đơn giản của phương trình trên

${\displaystyle y(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}\left({\frac {c_{1}}{\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}\cos \left(\omega t\right)+{\frac {c_{2}}{\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}\sin \left(\omega t\right)\right)}$

${\displaystyle =A\cos \left(\omega t+\varphi \right)\,}$

với

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},}$

${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},}$

${\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),}$

ở đây:

${\displaystyle c_{1}\,}$ và ${\displaystyle c_{2}\,}$ là hai hằng số được xác định bằng các điều kiện ban đầu của lò xo. ${\displaystyle A\,}$ là li độ cực đại, ${\displaystyle \omega \,}$ là tần số góc, ${\displaystyle \varphi \,}$ là pha ban đầu.

Vận tốc và gia tốc của vật thể dao động điều hòa được tính bằng đạo hàm bậc nhất và bậc hai của li độ:

${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t+\varphi ),}$

${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t+\varphi )=-\omega ^{2}y.}$

Năng lượng trong dao động điều hòa đơn giản

Biểu diễn li độ, vận tốc, gia tốc theo pha dao động. Ở đây ta thấy li độ ngược pha với gia tốc, li độ và gia tốc cùng vuông pha với vận tốc

Động năng ${\displaystyle E_{d}\,}$ của hệ dao động tại thời điểm t:

${\displaystyle E_{d}={\frac {1}{2}}mv(t)^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi )={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\varphi ),}$

Thế năng ${\displaystyle E_{t}\,}$ của hệ:

${\displaystyle E_{t}={\frac {1}{2}}kx(t)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\varphi ).}$

Năng lượng toàn phần của hệ có giá trị không đổi:

${\displaystyle E=E_{d}+E_{t}={\frac {1}{2}}kA^{2}=constant.}$

Xem thêm

• Cơ học cổ điển
• Chuyển động tròn đều

Tham khảo