Hàm đếm số nguyên tố

Trong toán học, hàm đếm số nguyên tố là hàm số đếm số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng với một số thực x. ^[1] Nó được ký hiệu là π (x) (không liên quan đến số π).

Các giá trị của π (n) cho 60 số nguyên dương đầu tiên

Lịch sử

Mối quan tâm lớn của lý thuyết số là tốc độ tăng trưởng của hàm đếm số nguyên tố.^[2][3] Nó được Gauss và Legendre phỏng đoán vào cuối thế kỷ 18 là xấp xỉ với

${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}}$

theo nghĩa

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1.}$

Phát biểu này là nội dung của định lý số nguyên tố. Một tuyên bố tương đương là

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1\!}$

Trong đó li là hàm tích phân logarit. Định lý số nguyên tố được Jacques Hadamard và Charles de la Vallée Poussin chứng minh lần đầu tiên vào năm 1896 một cách độc lập, sử dụng các thuộc tính của hàm Riemann zeta do Riemann giới thiệu vào năm 1859. Cách chứng minh định lý số nguyên tố không sử dụng hàm zeta hoặc giải tích phứ đã được Atle Selberg và Paul Erdős tìm ra vào khoảng năm 1948 (hầu hết các phần này đều được họ tìm ra hoàn toàn độc lập với nhau).^[4]

Ước tính chính xác hơn về ${\displaystyle \pi (x)\!}$ bây giờ đã được biết đến; ví dụ ^{[cần dẫn nguồn]}

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}xe^{-{\sqrt {\ln x}}/15}{\bigr )}\!}$

trong đó O là ký hiệu O lớn. Đối với hầu hết các giá trị của ${\displaystyle x}$ chúng ta quan tâm đến (tức là khi ${\displaystyle x}$ không lớn quá mức), giá trị ${\displaystyle \operatorname {li} (x)\!}$ luôn lớn hơn ${\displaystyle \pi (x)\!}$. Tuy nhiên, hiệu ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$ được biết là thay đổi dấu vô hạn lần. Để thảo luận về điều này, xem số Skewes.

Dạng chính xác

Bernhard Riemann đã chứng minh rằng hàm đếm số nguyên tố chính xác là ^[5]

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })}$

trong đó

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})}$,

μ(n) là hàm Mobius, li(x) là hàm số tích phân logarit, ρ đánh dấu mỗi giá trị zero của hàm zeta Riemann, và li(x^ρ/n) không được đánh giá với một nhánh rẽ nhưng thay vì coi là Ei(ρ/n ln x). Một cách tương đương, nếu các giá trị 0 tầm thường được thu thập và tổng được lấy chỉ qua các giá trị 0 không tầm thường ρ của hàm zeta Riemann, sau đó π(x) có thể được viết thành

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln {x}}}}$.

Giả thuyết Riemann gợi ý rằng với mỗi giá trị 0 không tầm thường thì Re(s) = 1/2

Bảng của π (x), x / ln x và li (x)

Bảng này cho thấy ba hàm số π (x), x / ln x và li(x) so sánh ở các giá trị mũ của 10. Xem thêm,^[2][6][7] và ^[8]

Đồ thị hiển thị tỷ lệ của hàm đếm số nguyên tố π (x) với hai giá trị gần đúng của nó, x / ln x và Li (x). Khi x tăng (lưu ý trục x là logarit), cả hai tỷ lệ đều dẫn về 1. Tỷ lệ của x/ln x (phía trên) hội tụ rất chậm, trong khi tỷ lệ của Li(x) (phía dưới) hội tụ nhanh hơn.

x	π(x)	π(x) − x / ln x	li(x) − π(x)	x / π(x)	x / ln x  % Error
10	4	−0.3	2.2	2.500	-7.5%
10^2	25	3.3	5.1	4.000	13.20%
10^3	168	23	10	5.952	13.69%
10^4	1,229	143	17	8.137	11.64%
10^5	9,592	906	38	10.425	9.45%
10^6	78,498	6,116	130	12.740	7.79%
10^7	664,579	44,158	339	15.047	6.64%
10^8	5,761,455	332,774	754	17.357	5.78%
10^9	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	5.10%
10^10	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	4.56%
10^11	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	4.13%
10^12	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	3.77%
10^13	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	3.47%
10^14	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	3.21%
10^15	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2.99%
10^16	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2.79%
10^17	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	7,956,589	38.116	2.63%
10^18	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	2.48%
10^19	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	99,877,775	42.725	2.34%
10^20	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	222,744,644	45.028	2.22%
10^21	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	2.11%
10^22	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2.02%
10^23	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	1.93%
10^24	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	1.84%
10^25	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	1.77%
10^26	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	1.70%
10^27	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1.64%

Tham khảo

1. Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996). Algorithmic Number Theory. MIT Press. volume 1 page 234 section 8.8. ISBN 0-262-02405-5.
2. ^ “How many primes are there?”. Chris K. Caldwell. Bản gốc lưu trữ ngày 20 tháng 9 năm 2012. Truy cập ngày 2 tháng 12 năm 2008.
3. Dickson, Leonard Eugene (2005). History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality. Dover Publications. ISBN 0-486-44232-2.
4. Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1998). A Classical Introduction to Modern Number Theory . Springer. ISBN 0-387-97329-X.
5. “The Fluctuations of the Prime-counting Function pi(x)”. www.primefan.ru. Truy cập ngày 17 tháng 5 năm 2019.
6. “Tables of values of pi(x) and of pi2(x)”. Tomás Oliveira e Silva. Truy cập ngày 14 tháng 9 năm 2008.
7. “Values of π(x) and Δ(x) for various values of x”. Andrey V. Kulsha. Truy cập ngày 14 tháng 9 năm 2008.
8. “A table of values of pi(x)”. Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel. Truy cập ngày 14 tháng 9 năm 2008.