Liên kết (phân thớ véc tơ)

Trong toán học, đặc biệt là trong hình học vi phân, một liên kết (cũng gọi là liên thông)^[1] trên một phân thớ véc tơ là một cách định nghĩa dịch chuyển song song trên phân thớ đó; nói cách khác, là một cách để so sánh các thớ liền kề nhau.

Định nghĩa

Gọi E → M là một phân thớ véc tơ trên một đa tạp vi phân M. Kí hiệu không gian các nhát cắt trơn của E là Γ(E). Một liên kết trên E là một ánh xạ tuyến tính^[2]

${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes T^{*}M)}$

sao cho luật Leibniz thỏa mãn:

${\displaystyle \nabla (\sigma f)=(\nabla \sigma )f+\sigma \otimes df}$

với mọi hàm trơn f trên M và mọi nhát cắt trơn σ của E.

Trong trường hợp E là phân thớ tiếp tuyến TM, một nhát cắt của E cũng chính là một trường vectơ X trên M. Ta có thể định nghĩa đạo hàm hiệp biến dọc theo X

${\displaystyle \nabla _{X}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

bằng cách đánh giá tại ${\displaystyle X:\nabla _{X}\sigma :=(\nabla \sigma )(X)}$. Đạo hàm hiệp biến thỏa mãn:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \!_{X}(\sigma _{1}{+}\sigma _{2})\ =\ \nabla \!_{X}\sigma _{1}+\nabla \!_{X}\sigma _{2}\\&\nabla \!_{(X_{1}{+}X_{2})}\sigma \ =\ \nabla \!_{X_{1}}\sigma +\nabla \!_{X_{2}}\sigma \\&\nabla \!_{X}(f\sigma )\ =\ f\,\nabla \!_{X}\sigma +X(f)\sigma \\&\nabla \!_{fX}\sigma \ =\ f\,\nabla \!_{X}\sigma .\end{aligned}}}$

Ngược lại, bất kỳ toán tử nào thỏa mãn các thuộc tính trên đều xác định một liên kết trên ${\displaystyle E}$.

Nhát cắt song song

Một nhát cắt song song (trên một tập mở ${\displaystyle U\subset M}$) là một nhát cắt ${\displaystyle s\in \Gamma (E,U)}$ sao cho ${\displaystyle \nabla s=0}$.

Độ cong

Độ cong của một liên kết ∇ trên E → M là một dạng bậc hai F ^∇ trên M với giá trị trong phân thớ tự đồng cấu End(E) = E⊗E *. Tức là,

${\displaystyle F^{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} \,E)=\Gamma (\mathrm {End} \,E\otimes \Lambda ^{2}T^{*}M).}$

F ^∇ được định nghĩa bởi biểu thức

${\displaystyle F^{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

Trong đó ${\displaystyle X}$ và ${\displaystyle Y}$ là các trường vectơ trên ${\displaystyle M}$ và ${\displaystyle s}$ là một nhát cắt của ${\displaystyle E}$.

Ví dụ

• Gắn với một đa tạp Riemann ${\displaystyle (M,g)}$, ta có một liên kết Levi-Civita ${\displaystyle \nabla ^{g}}$ trên ${\displaystyle TM\rightarrow M}$. Đây là liên kết duy nhất thỏa mãn hai tính chất sau đây:

1. Tính không xoắn: với mọi trường véc-tơ ${\displaystyle X,Y}$, ta có ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$

1. Tính bảo toàn metric: với mọi trường véc-tơ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ và ${\displaystyle Z}$, ta có ${\displaystyle Zg(X,Y)=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)}$ (trong đó vế trái là tác động tự nhiên của trường véc-tơ ${\displaystyle Z}$ lên hàm số ${\displaystyle g(X,Y)}$).

Độ cong ${\displaystyle F}$ của liên kết này cũng chính là ten-xơ độ cong Riemann (thường được biết đến qua kí hiệu ${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }}$ mà, không gì khác hơn, chính là các hệ số của ${\displaystyle F}$ đối với cơ sở cảm sinh từ một hệ tọa độ địa phương ${\displaystyle (x^{i})}$).

• Tổng quát hơn, một liên kết a-phin (hay liên thông tuyến tính)^[1] trên một đa tạp vi phân ${\displaystyle M}$ là một liên kết trên phân thớ tiếp tuyến ${\displaystyle TM}$.^[3]

Tham khảo

1. ^ Đoàn Quỳnh (2000), tr. 317
2. Lee (1997), tr. 49-50
3. Lee (1997), tr. 51

Thư mục

• Ambrose, W.; Singer, I.M., A theorem on holonomy, 1953
• Chern, Shiing-Shen, Topics in Differential Geometry, 1951
• Darling, R. W. R., Differential Forms and Connections, 1994, ISBN 0-521-46800-0
• Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, Nhà xuất bản giáo dục, 2000
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, 1996, ISBN 0-471-15733-3
• Koszul, J. L., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, 1950
• Lee, John, 1997, Introduction to Riemannian Manifolds, Springer, ISBN 0-387-98271-X
• Wells, R. O., Differential analysis on complex manifolds, 1973, ISBN 0-387-90419-0