Phân thớ tiếp tuyến

Bản mẫu:Chuyên ngành

Phân thớ tiếp tuyến giống như là toàn bộ các không gian tiếp tuyến được gắn lại với nhau một cách trơn tru và phân biệt.

Trong hình học vi phân, phân thớ tiếp tuyến (hay phân thớ tiếp xúc[1]) của một đa tạp khả vi là một đa tạp bao gồm tất cả các véc-tơ tiếp tuyến của . Như một tập hợp, nó là hợp rời của các không gian tiếp tuyến của . Tức là,

trong đó biểu thị không gian tiếp tuyến tại điểm .

Vì vậy, một phần tử của có thể được coi là một cặp với là một điểm của là một véc tơ tiếp tuyến với tại . Có một phép chiếu tự nhiên

được định nghĩa bởi . Phép chiếu này ánh xạ toàn bộ không gian tiếp tuyến đến điểm duy nhất .

Một trong những vai trò chính của phân thớ tiếp tuyến là cung cấp miền và tập xác định cho đạo hàm của hàm trơn. Cụ thể, nếu là một hàm trơn, với đa tạp trơn, đạo hàm của nó là một hàm trơn .

Cấu trúc tô-pô và cấu trúc trơn

[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu M là một đa tạp n chiều, thì nó được trang bị một họ các hệ tọa độ .

Các tọa độ cục bộ trên U này tạo ra một đẳng cấu cho tất cả . Ta định nghĩa

bởi

Ta sử dụng các bản đồ này để định nghĩa cấu trúc tô-pô và cấu trúc trơn của .

Đa tạp khả song

[sửa | sửa mã nguồn]

Một trường mục tiêu trên một đa tạp chiều là một họ trường véc-tơ trên sao cho với mọi , là một cơ sở của . Một đa tạp được gọi là khả song nếu nó có ít nhất một trường mục tiêu.[2]

Định lý - Một đa tạp là là khả song khi và chỉ khi tồn tại một đẳng cấu -phân thớ .

Nếu một đa tạp là khả song, ứng với mỗi trường mục tiêu , ta có một ánh xạ cho bởi .

Một tập mở tọa độ luôn là khả song.

Ví dụ đơn giản nhất là . Trong trường hợp này, phân thớ tiếp tuyến là tầm thường: mỗi là đẳng cấu đối với qua ánh xạ bằng phép trừ đi , cho ta một vi phôi .

Một ví dụ đơn giản khác là vòng tròn đơn vị, (xem hình trên). Phân thớ tiếp tuyến của vòng tròn cũng tầm thường và đẳng cấu với . Về mặt hình học, đây là một hình trụ có chiều cao vô hạn.

Các phân thớ tiếp tuyến duy nhất có thể dễ dàng hình dung là các phân thớ tiếp tuyến của đường thẳng thực và vòng tròn đơn vị , cả hai đều tầm thường. Đối với đa tạp 2 chiều, phân thớ tiếp tuyến là 4 chiều và do đó khó hình dung.

Một ví dụ đơn giản về phân thớ tiếp tuyến không tầm thường là hình cầu đơn vị : phân thớ tiếp tuyến này là không tầm thường: đây là hệ quả của định lý bóng lông. Do đó, hình cầu là một đa tạp không khả song.

Chú thích

[sửa | sửa mã nguồn]
  1. ^ Khu Quốc Anh và đồng nghiệp (2011)
  2. ^ Đoàn Quỳnh (2000), tr. 304

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân
  • Khu Quốc Anh và đồng nghiệp (2011), Lí thuyết liên thông và Hình học Riemann, Nhà xuất bản Đai học sư phạm Hà Nội
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
Tôi thích bản thân nỗ lực như thế
Tôi thích bản thân nỗ lực như thế
[RADIO NHUỴ HY] Tôi thích bản thân nỗ lực như thế
Dừng uống thuốc khi bị cảm và cách mình vượt qua
Dừng uống thuốc khi bị cảm và cách mình vượt qua
Mình không dùng thuốc tây vì nó chỉ có tác dụng chặn đứng các biểu hiện bệnh chứ không chữa lành hoàn toàn
Nhân vật Suzune Horikita - Classroom of the Elite
Nhân vật Suzune Horikita - Classroom of the Elite
Nếu mình không thể làm gì, thì cứ đà này mình sẽ kéo cả lớp D liên lụy mất... Những kẻ mà mình xem là không cùng đẳng cấp và vô giá trị... Đến khi có chuyện thì mình không chỉ vô dụng mà lại còn dùng bạo lực ra giải quyết. Thật là ngớ ngẩn...
Phân biệt Dũng Giả, Anh Hùng và Dũng Sĩ trong Tensura
Phân biệt Dũng Giả, Anh Hùng và Dũng Sĩ trong Tensura
Về cơ bản, Quả Trứng Dũng Giả cũng tương tự Hạt Giống Ma Vương, còn Chân Dũng Giả ngang với Chân Ma Vương.