Phần tử đơn vị

Bài này nói về phần tử đơn vị trong toán học, xem thêm nghĩa khác ở phần tử đơn vị (định hướng).

Trong toán học, phần tử đơn vị (hay còn gọi là phần tử trung hòa) là một phần tử đặc biệt của một tập hợp khi nói đến phép toán hai ngôi trên tập hợp đó. Nó không làm thay đổi phần tử còn lại khi thực hiện phép toán với phần tử đó. Khái niệm này được dùng trong các cấu trúc đại số như nhóm, vành.^[1]^[2]

Thuật ngữ phần tử đơn vị có thể được gọi ngắn gọn là đơn vị nếu không thể bị nhầm được.^[3]

Định nghĩa

Cho (S, *) là một tập S cùng với phép toán hai ngôi * trên nó, phần tử $e$ được gọi là

Đơn vị trái nếu $\forall a\in S,e*a=a$
Đơn vị phải nếu $\forall a\in S,a*e=a$
Đơn vị hai phía (hoặc đơn giản là đơn vị), nếu e vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]

Ví dụ

Tập hợp	Phép toán	Phần tử đơn vị
Số thực	+ (Phép cộng)	0
Số thực	· (Phép nhân)	1
Số phức	+ (phép cộng)	0
Số phức	· (phép nhân)	1
Số nguyên dương	Bội chung nhỏ nhất	1
Số nguyên không âm	Ước chung lớn nhất	0
Ma trận $m$ x $n$	Phép cộng ma trận	Ma trận không
Ma trận vuông $n$ x $n$	Phép nhân ma trận	I_n (Ma trận đơn vị)
Ma trận $m$ x $n$	○ (Tích Hadamard)	$J m, n$ (Ma trận một)
Tất cả các hàm số từ tập, $M$ , tới chính nó	∘ (phép hợp hàm)	Hàm đồng nhất
Tất cả các phân phối trên nhóm , $G$	∗ (tích chập)	$δ$ (Hàm delta Dirac)
Số thực mở rộng	Nhỏ nhất/infimum	+∞
Số thực mở rộng	Lớn nhất/supremum	−∞
Các tập con của tập $M$	∩ (Phép giao tập hợp)	$M$
Các tập hợp	∪ (Phép hợp tập hợp)	∅ (Tập rỗng)
Xâu, danh sách	Phép nối	Xâu rỗng, danh sách rỗng
Đại số Boole	∧ (Phép hội)	⊤ (đúng)
Đại số Boole	↔ (Phép tương đươnng)	⊤ (đúng)
Đại số Boole	∨ (Phép tuyển)	⊥ (sai)
Đại số Boole	⊕ (Phép xor)	⊥ (sai)
Nút thắt	Tổng nút	Mở nút
Mặt phẳng compact	# (Tổng liên thông)	S²
Nhóm	Tích trực tiếp của nhóm	Nhóm tầm thường
Hai phần tử, ${e, f}$	∗ định nghĩa bởi $e * e = f * e = e$ và $f * f = e * f = f$	Cả hai $e$ và $f$ dều là đơn vị trái, nhưng không có đơn vị phải và đơn vị hai phía
Các quan hệ thuần nhất trên tập X	Tích quan hệ	Quan hệ đơn vị

Như trong ví dụ dưới cùng, (S,*) có thể có nhiều hơn một đơn vị trái. Tương tự, có thể có nhiều đơn vị phải. Nhưng nếu có một đơn vị trái và một đơn vị phải thì chúng bằng nhau và chỉ có đúng một đơn vị hai phía.

Thật vậy, nếu l là một đơn vị trái và r là một đơn vị phải thì l = l * r = r. Vậy, không bao giờ có nhiều hơn một đơn vị hai phía.