Vòng tròn đơn vị với một số góc đặc biệt.
Trong toán học , đường tròn đơn vị hay vòng tròn đơn vị là đường tròn với bán kính là 1 đơn vị. Thông thường, đặc biệt là trong lượng giác , vòng tròn đơn vị là hình tròn có bán kính 1 với tâm tại gốc tọa độ (0,0) trong không gian 2 chiều. Nó thường được ký hiệu là S 1 .
Có nhiều cách định nghĩa đường tròn đơn vị.
Trên mặt phẳng R 2 , đường tròn đơn vị có thể định nghĩa bằng một trong những phương trình sau:
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\;}
‖
r
‖
=
1
{\displaystyle \|\mathbf {r} \|=1\;}
{
x
=
c
o
s
(
θ
)
y
=
s
i
n
(
θ
)
{\displaystyle {\begin{cases}x=cos(\theta )\\y=sin(\theta )\end{cases}}}
V.v...
Trên mặt phẳng phức C , đường tròn đơn vị có thể định nghĩa bằng phương trình:
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1\,}
Dĩa đơn vị là phần mặt phẳng bên trong (tức là bên có chứa gốc tọa độ) đường tròn đơn vị. Nói cách khác, trên mặt phẳng thực:
x
2
+
y
2
≤
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq 1\;}
‖
r
‖
≤
1
{\displaystyle \|\mathbf {r} \|\leq 1\;}
{
|
x
|
≤
|
c
o
s
(
θ
)
|
|
y
|
≤
|
s
i
n
(
θ
)
|
{\displaystyle {\begin{cases}|x|\leq |cos(\theta )|\\|y|\leq |sin(\theta )|\end{cases}}}
V.v.
Trên mặt phẳng phức C :
|
z
|
≤
1
{\displaystyle |z|\leq 1\,}
Tất cả các hàm lượng giác đều có thể tính được từ đường tròn đơn vị có tâm tại O .
Đường tròn đơn vị có vị trí đặc biệt trong lượng giác vì từ đó có thể tính được tất cả các hàm lượng giác.
Nếu A là một điểm trên đường tròn đơn vị,
θ
{\displaystyle \theta }
là góc giữa trục
x
{\displaystyle x}
và đường OA (trong hình) thì:
c
o
s
(
θ
)
{\displaystyle cos(\theta )\,}
= giá trị điểm A chiếu xuống trục
x
{\displaystyle x\,}
, là đoạn OC trong hình.
s
i
n
(
θ
)
{\displaystyle sin(\theta )\,}
= giá trị điểm A chiếu xuống trục
y
{\displaystyle y\,}
, là đoạn AC trong hình.
t
a
n
(
θ
)
{\displaystyle tan(\theta )\,}
= chiều dài đường tiếp tuyến từ A kéo tới trục
x
{\displaystyle x\,}
, là đoạn AE trong hình.
c
o
t
(
θ
)
{\displaystyle cot(\theta )\,}
= chiều dài đường tiếp tuyến từ A kéo tới trục
y
{\displaystyle y\,}
, là đoạn AF trong hình.
s
e
c
(
θ
)
{\displaystyle sec(\theta )\,}
(secant) = chiều dài từ tâm theo trục
x
{\displaystyle x\,}
tới đường tan, là đoạn OE trong hình.
c
s
c
(
θ
)
{\displaystyle csc(\theta )\,}
(cosecant) = chiều dài từ tâm theo trục
y
{\displaystyle y\,}
tới đường cotan, là đoạn OF trong hình.
Có hai hàm lượng giác ít dùng nhưng rất dễ thấy trong đường tròn đơn vị, là
versin
{\displaystyle {\textrm {versin}}\,}
và
coversin
{\displaystyle {\textrm {coversin}}\,}
.
Hàm
versin
{\displaystyle {\textrm {versin}}\,}
tức versed sine là đoạn còn lại trên trục
x
{\displaystyle x\,}
từ sau điểm
c
o
s
(
θ
)
{\displaystyle cos(\theta )\,}
tới hết đường bán kính.
Còn hàm
coversin
{\displaystyle {\textrm {coversin}}\,}
tức coversed sine hay coversin tương đương như vậy, trên trục
y
{\displaystyle y\,}
: Đoạn còn lại trên trục
y
{\displaystyle y\,}
từ sau điểm
s
i
n
(
θ
)
{\displaystyle sin(\theta )\,}
tới hết đường bán kính.
Hai hàm này có phần hữu dụng như sau:
versin
(
θ
)
=
1
−
cos
(
θ
)
=
2
sin
2
(
θ
2
)
{\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta )=1-\cos(\theta )=2\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\,}
coversin
(
θ
)
=
1
−
sin
(
θ
)
=
versin
(
π
/
2
−
θ
)
{\displaystyle {\textrm {coversin}}(\theta )=1-\sin(\theta )={\textrm {versin}}(\pi /2-\theta )\,}
Lăn đường tròn, một điểm trên đường tròn sẽ vẽ thành đường cycloid (màu đỏ)
Lấy một đường tròn bán kính = 1, đặt nó lên trục
x
{\displaystyle x\,}
. Lấy một điểm A cố định trên đường tròn đó. Khi đường tròn lăn (không trượt) trên trục
x
{\displaystyle x\,}
, điểm A quay/lăn theo và sẽ vẽ một hình cung, mang tên đường cycloid .
Nếu thay vì lấy một điểm trên đường tròn mà lấy một điểm bên trong đường tròn, sẽ được đường gọi tên là curtate cycloid .
Năm 1658 Christopher Wren chứng minh rằng nếu đường tròn có đường kính
d
{\displaystyle d\,}
thì một chu kỳ đường cycloid có chiều dài
4
d
{\displaystyle 4d\,}
.