Số Idoneal

Trong toán học, các số idoneal của Euler (cũng được gọi là số tiện lợi) là số nguyên dương D sao bất cứ số nguyên nào có duy nhất một cách biểu diễn thành x² ± Dy² (trong đó x² nguyên tố cùng nhau với Dy²) thì số đó là lũy thừa nguyên tố hoặc gấp đôi lũy thừa nguyên tố. Cụ thể hơn, số có hai cách biểu diễn khác nhau dưới dạng tổng của hai số chính phương bằng phương pháp phân tích số của Euler. Mọi số idoneal sinh ra vô số nguyên tố và cũng đồng thời bỏ đi vô số số nguyên tố khác.

Định nghĩa

Số nguyên dương n là số idoneal khi và chỉ khi nó không thể viết thành ab + bc + ac với a, b, and c là các số nguyên dương phân biệt.^[1]

Ta chỉ cần xét tập sau { n + k² | 3 . k² ≤ n ∧ gcd (n, k) = 1 }; nếu tất cả số này nằm dưới dạng p, p², 2 · p hay 2^s với một số số nguyên s, trong đó p nguyên tố, thì n là số idoneal.^[2]

Danh sách số và giả thuyết

Vấn đề mở trong toán học: Có 65, 66 hay 67 số idoneal? (các vấn đề mở khác trong toán học)

Danh sách 65 số idoneal được tìm thấy bởi Leonhard Euler và Carl Friedrich Gauss và được đặt giả thuyết là 65 số duy nhất

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, and 1848 (dãy số A000926 trong bảng OEIS).

Kết quả từ Peter J. Weinberger trong 1973^[3] chỉ ra rằng chỉ có tối đa hai số idoneal khác không nằm trong dãy trên. Mặt khác dãy trên chứa đầy đủ các số idoneal nếu giả thuyết Riemann tổng quát đúng.^[4]

Chú thích

1. Eric Rains,  A000926 Comments on A000926, December 2007.
2. Roberts, Joe: The Lure of the Integers. The Mathematical Association of America, 1992
3. Acta Arith., 22 (1973), p. 117-124
4. “Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227” (PDF). Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 8 tháng 11 năm 2022. Truy cập ngày 8 tháng 8 năm 2022.

Tham khảo

• Z. I. Borevich and I. R. Shafarevich, Number Theory. Academic Press, NY, 1966, pp. 425–430.
• D. A. Cox (1989). Primes of the Form x² + ny². Wiley-Interscience. tr. 61. ISBN 0-471-50654-0.
• L. Euler, "An illustration of a paradox about the idoneal, or suitable, numbers", 1806
• G. Frei, Euler's convenient numbers, Math. Intell. Vol. 7 No. 3 (1985), 55–58 and 64.
• O-H. Keller, Ueber die "Numeri idonei" von Euler, Beitraege Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Math. Rev. 85m:11019]
• G. B. Mathews, Theory of Numbers, Chelsea, no date, p. 263.
• P. Ribenboim, "Galimatias Arithmeticae", in Mathematics Magazine 71(5) 339 1998 MAA or, 'My Numbers, My Friends', Chap.11 Springer-Verlag 2000 NY
• J. Steinig, On Euler's ideoneal numbers, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
• A. Weil, Number theory: an approach through history; from Hammurapi to Legendre, Birkhaeuser, Boston, 1984; see p. 188.
• P. Weinberger, Exponents of the class groups of complex quadratic fields, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.
• Ernst Kani, Idoneal Numbers And Some Generalizations, Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227.

Liên kết ngoài

• K. S. Brown, Mathpages, Numeri Idonei
• M. Waldschmidt, Open Diophantine problems
• Weisstein, Eric W., "Idoneal Number" từ MathWorld.