크라메르 추측

수론에서 크라메르 추측(영어: Cramér’s conjecture)은 소수 간극의 분포에 대한 가설이다.

정의

${\displaystyle n}$번째 소수를 ${\displaystyle p_{n}}$이라고 쓰자. 크라메르 추측에 따르면,

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}=1}$

이다.

유도

크라메르 추측은 소수의 분포에 대한 크라메르 모형(영어: Cramér model)으로부터 유도된다. 크라메르 모형은 소수의 분포의 통계학적 모형이며, 이에 따르면 양의 정수 ${\displaystyle n\geq 3}$이 소수일 확률은 대략

${\displaystyle \Pr(n\in \mathbb {P} )={\frac {1}{\ln n}}}$

이다 (${\displaystyle n\leq 2}$인 경우의 확률은 임의로 고를 수 있다). 또한, 각 정수가 소수인지 여부는 독립 확률 변수로 여긴다.

이에 따르면, 크기가 ${\displaystyle n}$ 이하인 소수들의 수의 기댓값은 대략

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{k\leq n}\Pr(k\in \mathbb {P} )=\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{\ln k}}\approx \int _{2}^{n}{\frac {dk}{\ln k}}=\operatorname {Li} (n)-\operatorname {Li} (2)}$

이며, 따라서 소수 정리를 얻는다.

크라메르 모형에서, 크라메르 추측은 거의 확실히 (즉, 확률 1로) 성립한다. 앤드루 그랜빌(영어: Andrew Granville)은 작은 소수의 배수를 고려하여 크라메르 모형을 개량하였는데,^[1] 이에 따르면

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}\gtrsim 2\exp(-\gamma )\approx 1.1229}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \gamma }$는 오일러-마스케로니 상수이다.

부분적인 증명

크라메르 추측은 현재 미해결 문제로 남아 있다. 크라메르 추측에 대한 원래 논문에서, 하랄드 크라메르는 리만 가설을 가정한다면

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\ln p_{n})}$

이라는 사실을 증명하였다.^[2] 1931년에 핀란드의 수학자 에리크 베스트쉰티우스(스웨덴어: Erik Westzynthius)는

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty }$

임을 증명하였다.^[3]

수치적 증거

토머스 나이슬리(영어: Thomas Nicely)의 1999년 수치적 계산에 따르면,^[4] 매우 큰 소수들의 간극은 대략

${\displaystyle {\frac {\ln p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}\approx 1.13}$

을 만족시킨다.

역사

하랄드 크라메르가 1936년에 통계적 모형을 바탕으로 추측하였다.^[2]

같이 보기

• 소수 정리

각주

1. Granville, Andrew (1995). “Harald Cramér and the distribution of prime numbers” (PDF). 《Scandinavian Actuarial Journal》 (영어) 1: 12–28. doi:10.1080/03461238.1995.10413946. Zbl 0833.01018. 2015년 9월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 11월 4일에 확인함. 
2. Cramér, Harald (1936). “On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers” (PDF). 《Acta Arithmetica》 (영어) 2: 23–46. JFM 63.0903.03. Zbl 0015.19702. 2018년 7월 23일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 11월 4일에 확인함. 
3. Westzynthius, Erik (1931). “Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind”. 《Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors》 (독일어) 5: 1–37. JFM 57.0186.02. Zbl 0003.24601. 
4. Nicely, Thomas R. (1999). “New maximal prime gaps and first occurrences”. 《Mathematics of Computation》 (영어) 68 (227): 1311–1315. doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0. MR 1627813. Zbl 0923.11018. 2014년 12월 30일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 11월 4일에 확인함. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cramér Conjecture”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cramér-Granville Conjecture”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.