Định lý Fenchel–Moreau

Một hàm không có tính nửa dưới liên tục. Theo định lý Fenchel–Moreau, hàm này không bằng với hàm song liên hợp của nó.

Trong giải tích lồi, định lý Fenchel–Moreau (theo tên của Werner Fenchel và Jean Jacques Moreau) phát biểu điều kiện cần và đủ để một hàm ${\displaystyle f}$ bằng với hàm song liên hợp ${\displaystyle f^{**}}$ của nó. Kết quả này trái ngược với tính chất chung rằng ${\displaystyle f^{**}\leq f}$.^[1][2] Định lý Fenchel–Moreau được ứng dụng trong lý thuyết đối ngẫu để chứng minh tính đối ngẫu mạnh (thông qua hàm nhiễu).

Phát biểu

Cho ${\displaystyle (X,\tau )}$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff. Với hàm ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ lấy giá trị trên trục số thực mở rộng, thì ${\displaystyle f=f^{**}}$ khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

1. ${\displaystyle f}$ lồi, chính thường và nửa liên tục dưới;
2. ${\displaystyle f\equiv +\infty }$, hoặc
3. ${\displaystyle f\equiv -\infty }$.^[1][3][4][5]

Chú thích

1. ^ Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian (2006). Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples (ấn bản 2). Springer. tr. 76–77. ISBN 9780387295701.
2. Zălinescu, Constantin (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. tr. 75–79. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.
3. Hang-Chin Lai; Lai-Jui Lin (tháng 5 năm 1988). “The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions”. Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 103 (1): 85–90. doi:10.2307/2047532.
4. Shozo Koshi; Naoto Komuro (1983). “A generalization of the Fenchel–Moreau theorem”. Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.. 59 (5): 178–181.
5. Đỗ Văn Lưu; Phan Huy Khải (2000). Giải tích lồi. Hà Nội: Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật. tr. 81.