Định lý Gelfond–Schneider

Định lý Gelfond-Schneider mang tên của nhà toán học người Nga Alexander Osipovich Gelfond (1906-1968) và của nhà toán học Theodor Schneider (1911-1988), hai người cùng độc lập chứng minh trong lý thuyết số định lý này trong năm 1934.

Phát biểu

Cho một số đại số a khác 1 và khác 0, và một số vô tỉ đại số b, thì số a^b là số siêu việt.

Ví dụ

Các số sau đây là siêu việt:

• ${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{i}}$
• ${\displaystyle 3^{\sqrt {5}}}$

Nếu không có điều kiện a và b là các số đại số, định lý nói chung không đúng. Ví dụ, ${\displaystyle {\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.}$ ở đây, a là √2^√2, là một số siêu việt. Tương tự, nếu a = 3 và b = (log 2)/(log 3) là một số siêu việt, thì a^b = 2 là một số đại số.

Phân tích

• Định lý này được tổng quát hóa thành định lý Baker, bởi nhà toán học người Anh Alan Baker (1939- ) chứng minh năm 1966, như sau:

Nếu a₁,a₂,..., a_n là các số khác không sao cho log a₁, log a₂,..., log a_n là độc lập tuyến tính trên trường số hữu tỉ, thì 1, log a₁, log a₂,..., log a_n cũng độc lập tuyến tính trên mọi trường số đại số.

• Định lý này cũng cung cấp một lời giải cho vấn đề thứ 7 của Các bài toán Hilbert.

Lưu ý

• Quy ước log lấy trên cơ số tự nhiên e (đôi khi còn được viết là ln).

Tham khảo

Thư mục

Sách

• Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, tr. 10, ISBN 978-0-521-20461-3, Zbl 0297.10013
• Feldman, N. I.; Nesterenko, Yu. V. (1998), Transcendental numbers, Encyclopedia of mathematical sciences, 44, Springer-Verlag, ISBN 3-540-61467-2, MR 1603604
• Gel'fond, A. O. (1960) [1952], Transcendental and algebraic numbers, Dover Phoenix editions, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49526-2, MR 0057921
• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42539-9.
• Niven, Ivan (1956). Irrational Numbers. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-011-7.

Báo

• Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert". Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. VII (4): 623–634.

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Gelfond-Schneider Theorem" từ MathWorld.