Độc lập tuyến tính

Các vectơ độc lập tuyến tính trong
Các vectơ phụ thuộc tuyến tính trên một mặt phẳng trong

Trong đại số tuyến tính, độc lập tuyến tính là một tính chất thể hiện mối liên hệ giữa các vectơ.

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Một hệ các vectơ {v1,...,vn} trong không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính,

nếu tồn tại các số: k1,..., kn không đồng thời bằng 0 sao cho:

k1 v1 +... + kn vn = 0.
  • hệ các vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi phương trình vectơ:
k1 v1 +... + kn vn = 0

chỉ có nghiệm duy nhất: k1 = k2 =... = kn = 0

Tính chất

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho V là không gian vectơ trên trường K:

Phụ thuộc tuyến tính Độc lập tuyến tính
Mọi tập hợp chứa vectơ 0v đều phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu 0v ∈ S thì S phụ thuộc tuyến tính. Mọi tập hợp độc lập tuyến tính thì không chứa vectơ 0v, tức là nếu S là tập con độc lập tuyến tính của V thì 0vS.
Mọi tập hợp chứa tập con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu E F và E phụ thuộc tuyến tính thì F phụ thuộc tuyến tính. Mọi tập con khác rỗng của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. Tức là ≠ E F và F độc lập tuyến tính thì E độc lập tuyến tính.
Tập S={u1,u2,...,um} (m≥2) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơ ui ∈ S sao cho ui là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S. Tập S ≠ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi mỗi vectơ bất kỳ u ∈ S đầu không thể là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.
Mọi tập khác rỗng S V thì hoặc S độc lập tuyến tính hoặc S phụ thuộc tuyến tính.

Ý nghĩa hình học

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Trong không gian các vectơ trên mặt phẳng, hệ gồm hai vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không cùng phương.
  • Trong không gian các vectơ hình học 3 chiều, hệ ba vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.
  • Hai vectơ (1,2,3,4) và (-3,-6,-9,5) là độc lập tuyến tính.
  • (1,2) và (-2,-4) không độc lập tuyến tính vì tồn tại λ1 = 1 và λ2 = 2 thỏa mãn λ1(-2,-4) + λ2(1,2) = 0.

Độc lập tuyến tính trong không gian n (hoặc n)

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Trong không gian Rn một hệ gồm nhiều hơn n vectơ {v1,...,vm} luôn là phụ thuộc tuyến tính.
  • Nếu hệ các vectơ {v1,...,vm} là độc lập tuyến tính trong không gian Rn, thì tập hợp tất cả các vectơ có dạng:
k1 v1 +... + km vm
là một không gian con đẳng cấu với Rm.
  • Một hệ n vectơ {v1,...,vn} là độc lập tuyến tính trong không gian Rn, khi và chỉ khi ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức khác không (det A ≠ 0).
  • Một hệ n vectơ {v1,...,vn} là phụ thuộc tuyến tính trong không gian Rn, khi và chỉ khi ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức bằng không (det A = 0).

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
Lịch sử về Trấn Linh & Những vụ bê bối đình đám của con dân sa mạc
Lịch sử về Trấn Linh & Những vụ bê bối đình đám của con dân sa mạc
Trong khung cảnh lầm than và cái ch.ết vì sự nghèo đói , một đế chế mang tên “Mặt Nạ Đồng” xuất hiện, tự dưng là những đứa con của Hoa Thần
Visual Novel Nekopara vol.1 Việt Hoá
Visual Novel Nekopara vol.1 Việt Hoá
Câu chuyện kể về Minazuki Kashou, con trai của một gia đình sản xuất bánh kẹo truyền thống bỏ nhà ra đi để tự mở một tiệm bánh của riêng mình tên là “La Soleil”
Giới thiệu AG Meredith - The nigh unkillable Octopus
Giới thiệu AG Meredith - The nigh unkillable Octopus
Meredith gần như bất tử trên chiến trường nhờ Bubble Form và rất khó bị hạ nếu không có những hero chuyên dụng
[Lôi Thần] Không về phe Thiên Lý và mục đích của
[Lôi Thần] Không về phe Thiên Lý và mục đích của "Lệnh truy nã Vision"
Chỉ cần dám ngăn cản tầm nhìn của vĩnh hằng, hay chỉ cần làm tổn thương người của Inazuma, thì sẽ trở thành kẻ thù của nàng