Cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là giá trị mà hàm số đổi chiều biến thiên khi qua đó. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Nếu trên hệ tọa độ Descartes giá trị cực đại là điểm thuộc đỉnh cao nhất trên trục tọa độ và giá trị cực tiểu là điểm thuộc đáy "sâu nhất" của hệ tọa dộ.

Giá trị cực đại không phải giá trị lớn nhất, giá trị cực tiểu không phải giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cực trị hàm một biến

Nếu đạo hàm cấp một của hàm f(x) tại x=x₀ là f '(x₀)=0 thì f(x₀) là điểm dừng (hay điểm ổn định)(stationary value) của hàm f(x)^[1].

Nếu đạo hàm cấp n của hàm f(x) tại x=x₀ là f⁽ⁿ⁾(x₀)≠0 thì điểm dừng f(x₀) là^[2]:

• Cực đại địa phương nếu n là số chẵn và f⁽ⁿ⁾(x₀)<0. Cực đại toàn cục nếu n là số chẵn và f⁽ⁿ⁾(x)<0
• Cực tiểu địa phương nếu n là số chẵn và f⁽ⁿ⁾(x₀)>0. Cực tiểu toàn cục nếu n là số chẵn và f⁽ⁿ⁾(x)>0
• Điểm uốn nếu n là số lẻ

Cực trị hàm nhiều biến

Điều kiện cần để hàm z= f(x₁, x₂,..., x_n) có cực trị là dz = f₁ dx₁ + f₂ dx₂ +... + f_n dx_n = 0^[3].

dz = 0 khi và chỉ khi f₁ dx₁ = f₂ dx₂ =... = f_n dx_n = 0

d²z được biểu diễn bằng ma trận Hessian:

${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}&\cdots &f_{1n}\\f_{21}&f_{22}&\cdots &f_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n1}&f_{n2}&\cdots &f_{nn}\end{bmatrix}}.}$

Từ ma trận H có các ma trận con ${\displaystyle \mathbf {H_{1}} ={\begin{bmatrix}f_{11}\end{bmatrix}}}$, ${\displaystyle \mathbf {H_{2}} ={\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{bmatrix}}}$,..., ${\displaystyle \mathbf {H_{n}} ={\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}&\cdots &f_{1n}\\f_{21}&f_{22}&\cdots &f_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{n1}&f_{n2}&\cdots &f_{nn}\end{bmatrix}}}$.

Điều kiện đủ để hàm có cực đại là det(H₁) < 0, det(H₂) > 0, det(H₃) < 0,..., (-1)ⁿ det(H_n) > 0^[3]

Điều kiện đủ để hàm có cực tiểu là det(H₁), det(H₂), det(H₃),..., det(H_n) > 0^[3]

Tham khảo

1. Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 235
2. Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 266
3. ^ Fundamental Methods of Mathematical Economics, 3rd Edition, Alpha C Chiang, McGraw-Hill, 1984, page 336