Hình vành khăn

Một hình vành khăn

Hình minh họa theo phương pháp vi tích phân trực quan của Mamikon cho thấy diện tích của hai hình vành khăn có cùng độ dài dây cung lớn nhất là bằng nhau với mọi bán kính trong và ngoài.^[1]

Trong toán học, hình vành khăn (tiếng Anh: annulus, từ tiếng Latinh anulus / annulus, có nghĩa là "chiếc nhẫn nhỏ", số nhiều là anuli / annuli) là một vật hình nhẫn, phần mặt phẳng nằm giữa hai đường tròn đồng tâm.^[2][3]

Những hình vành khăn mở tương đương tô pô với cả hình trụ mở S¹ × (0,1) và mặt phẳng thủng (punctured plane).^[4]

Diện tích

Diện tích hình vành khăn là hiệu của diện tích hình tròn lớn bán kính R với diện tích hình tròn nhỏ bán kính r:^[5]

${\displaystyle A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Diện tích hình vành khăn được xác định dựa vào độ dài của đoạn thẳng dài nhất trong hình, tức dây cung tiếp tuyến với đường tròn phía trong,^[6] có độ dài 2d như hình minh họa. Có thể thể hiện phân tích này bằng định lý Pythagoras vì đoạn thẳng này tiếp tuyến với đường tròn nhỏ và vuông góc với bán kính r tại tiếp điểm, do đó d và r là các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền R và diện tích hình vành khăn được tính theo công thức:

${\displaystyle A=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi d^{2}.}$

Cũng có thể áp dụng vi tích phân để tính diện tích bằng cách chia nhỏ hình vành khăn thành một số lượng hình vành khăn vô hạn với chiều rộng dρ nhỏ đến vô cùng và diện tích 2πρ dρ, sau đó giải tích phân từ ρ = r đến ρ = R:^[7]

${\displaystyle A=\int _{r}^{R}\!\!2\pi \rho \,d\rho =\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Diện tích hình quạt vành khăn với góc θ, θ đo bằng radian, được tính theo công thức:

${\displaystyle A={\frac {\theta }{2}}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

Cấu trúc phức

Trong giải tích phức, hình vành khăn ann(a; r, R) trong mặt phẳng phức là một tập mở được định nghĩa là:

${\displaystyle r<|z-a|<R.}$

Nếu r bằng 0, tập này được xem là đĩa thủng (punctured disk) có bán kính R, tâm a.

Là tập hợp con của mặt phẳng phức, hình vành khăn có thể được coi là một mặt Riemann.^[8] Cấu trúc phức của hình vành khăn chỉ phụ thuộc vào tỷ lệ r/R. Mỗi hình vành khăn ann(a; r, R) có thể được ánh xạ chỉnh hình tới một hình vành khăn chuẩn tương ứng, dựa trên tâm cũ và với bán kính ngoài 1.

${\displaystyle z\mapsto {\frac {z-a}{R}}.}$

Bán kính trong lúc này là r/R < 1.

Định lý ba vòng tròn Hadamard là một phát biểu về giá trị tối đa mà hàm chỉnh hình có thể nhận được trong một hình vành khăn.

Xem thêm

• Định lý hình vành khăn
• Vỏ cầu
• Hình xuyến
• Danh sách các hình hình học

Tham khảo

1. Haunsperger, Deanna; Kennedy, Stephen (2006). The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons. MAA. tr. 70. Truy cập ngày 29 tháng 4 năm 2020.
2. Gheverghese, Joseph George (28 tháng 7 năm 2016). Indian Mathematics: Engaging With The World From Ancient To Modern Times. World Scientific. tr. 239. ISBN 1786340631. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2020.
3. Matthews, Bennie (21 tháng 6 năm 2019). “Circle”. Statics and Analytical Geometry. Scientific e-Resources. tr. 68. ISBN 1839473339. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2020.
4. Hong, Weihu (15 tháng 12 năm 2016). “Surface of Cylinder”. Art of Mathematics. Dorrance Publishing. tr. 12. ISBN 1480930180. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2020.
5. “Area of an Annulus”. Brightstorm. Lưu trữ bản gốc ngày 5 tháng 9 năm 2019. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2020.
6. Coeurjolly, David; Sivignon, Isabelle; Tougne, Laure; Dupont, Florent biên tập (5 tháng 4 năm 2008). “The Limits of the Approach”. Discrete Geometry for Computer Imagery: 14th IAPR International Conference, DGCI 2008, Lyon, France, April 16-18, 2008, Proceedings. Springer. tr. 464. ISBN 3540791264. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2020.
7. Marques, Paulo; Radwan, Ayman; Mumtaz, Shahid; Noguet, Dominique; Rodriguez, Jonathan; Gundlach, Michael biên tập (26 tháng 2 năm 2018). “System Model”. Cognitive Radio Oriented Wireless Networks: 12th International Conference, CROWNCOM 2017, Lisbon, Portugal, September 20-21, 2017, Proceedings. Springer. tr. 164. ISBN 3319762079. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2020.
8. Zwiebach, Barton (22 tháng 1 năm 2009). A First Course in String Theory (ấn bản thứ 2). Cambridge University Press. tr. 599. ISBN 1139643916. Truy cập ngày 6 tháng 5 năm 2020.

Liên kết ngoài

• Định nghĩa và tính chất hình vành khăn với hoạt hình tương tác
• Diện tích hình vành khăn với hoạt hình tương tác