Hệ tiên đề Hilbert

Hệ tiên đề Hilbert là hệ tiên đề do nhà toán học người Đức David Hilbert đưa ra. Ông đã đưa ra hệ tiên đề này vào năm 1899. Trong hệ tiên đề này, Hilbert đã đưa ra 20 tiên đề gồm 13 tiên đề cho hình học phẳng, 7 tiên đề cho hình học không gian. Ông chia chúng thành 5 nhóm gồm:

• Liên thuộc
• Thứ tự
• Bằng nhau
• Liên tục
• Song song

Đồng thời, ông cũng chứng minh sự phi mâu thuẫn, sự đầy đủ và sự độc lập của các tiên đề ấy.

Công trình của Hilbert có một vai trò quan trọng trong lịch sử toán học. Nó đã khắc phục nhược điểm của hệ tiên đề Euclide là không có các tiên đề về sự liên tục (nên Euclid đã dựa vào trực giác của mình rất nhiều mà không phát biểu thành tiên đề). Hệ tiên đề của nhà toán học người Đức đã mở ra giai đoạn mới của lịch sử tiên đề^[1].

Các tiên đề

Hệ tiên đề Hilbert bao gồm 6 khái niệm nguyên thủy: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ nằm giữa (một điểm so với hai điểm khác), ba quan hệ nằm trên (điểm-đường thẳng, điểm-mặt phẳng, đường thẳng-mặt phẳng), hai quan hệ bằng nhau (đoạn thẳng, góc).^[2]

Liên thuộc

Thứ tự

Bằng nhau

Liên tục

Song song

Ứng dụng

Giá trị của Grundlagen còn nằm ở việc sử dụng các mô hình để chứng minh sự độc lập, và xem xét sự đầy đủ và sự phi mâu thuẫn của các tiên đề trong hệ tiên đề Hilbert.

Tham khảo

1. Vũ Hữu Bình (2007) Phần Hình học, cuối chương II, Bài đọc thêm: Ơ-clít và bộ sách Cơ bản.
2. Hilbert, Bernays, Unger (1971). Bản dịch này có một số khác biệt so với bản dịch của Townsend.

Thư mục

• David Hilbert; Paul Bernays; Leo Unger (1971) Foundations of Geometry, La Salle
• Howard Eves, 1997 (1958). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover. Chpt. 4.2 covers the Hilbert axioms for plane geometry.
• Ivor Grattan-Guinness, 2000. In Search of Mathematical Roots. Princeton University Press.
• David Hilbert, 1980 (1899). The Foundations of Geometry, 2nd ed. Chicago: Open Court.
• Laura I. Meikle and Jacques D. Fleuriot (2003), Formalizing Hilbert's Grundlagen in Isabelle/Isar Lưu trữ 2016-03-04 tại Wayback Machine, Theorem Proving in Higher Order Logics, Lecture Notes in Computer Science, Volume 2758/2003, 319-334, doi:10.1007/10930755_21
• Vũ Hữu Bình, 2007, Nâng cao và phát triển Toán lớp 7 tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam