Lũy linh

Bài này viết về một phần tử đặc biệt trên vành. Đối với nhóm, xem Nhóm lũy linh. Đối với I-đê-an, xem I-đê-an lũy linh. Đối với nửa nhóm, xem Nửa nhóm lũy linh. Đối với một nhánh của đại số, xem Đại số lũy linh.

Trong toán học, một phần tử ${\displaystyle x}$ của một vành được gọi là lũy linh (tiếng Anh: nilpotent, thuật ngữ tiếng Việt là sự kết hợp của lũy thừa và gốc Hán-Việt "零-linh" có nghĩa là không) nếu tồn tại một số nguyên dương ${\displaystyle n}$ (được gọi là bậc của phần tử đó), thỏa mãn ${\displaystyle x^{n}=0}$.

Thuật ngữ này cùng với lũy đẳng đều được giới thiệu lần đầu tiên bởi Benjamin Peirce khi ông viết về các nhánh của đại số.^[1]

Ví dụ

• Định nghĩa này có thể được áp dụng cho các ma trận vuông. Ma trận

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

là lũy linh vì ${\displaystyle A^{3}=0}$. Xem ma trận lũy linh để biết thêm.

• Trong vành thương ${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$, lớp tương đương của 3 là lũy linh vì 3² đồng dư với 0 modulo 9.

• Giả sử hai phần tử ${\displaystyle a}$ và ${\displaystyle b}$ trên vành ${\displaystyle R}$ thỏa mãn ${\displaystyle ab=0}$. Khi đó, phần tử ${\displaystyle c=ba}$ là lũy linh do $${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(ba)^{2}\\&=b(ab)a\\&=0.\\\end{aligned}}}$$

Xem thêm

• Vành giảm

Ghi chú

Tham khảo

1. Polcino Milies & Sehgal (2002), An Introduction to Group Rings. p. 127.

• Matsumura, Hideyuki (1970). "Chapter 1: Elementary Results". Commutative Algebra. W. A. Benjamin. p. 6. ISBN 978-0-805-37025-6.
• Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (ngày 21 tháng 2 năm 1994). "Chapter 1: Rings and Ideals". Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. p. 5. ISBN 978-0-201-40751-8.
• Peirce, B. Linear Associative Algebra. 1870.
• Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0