Ma trận lũy linh

Trong đại số tuyến tính, một ma trận lũy linh là một ma trận vuông N sao cho

${\displaystyle N^{k}=0\,}$

với k là số nguyên dương. Số k nhỏ nhất thỏa mãn biểu thức trên được gọi là bậc của ma trận lũy linh N.

Ví dụ

Ma trận

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

là ma trận lũy linh với bậc là 2 (vì ${\displaystyle M^{2}=0}$ và ${\displaystyle M\neq 0}$).

Ma trận

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

là ma trận lũy linh với bậc là 4 (vì ${\displaystyle N^{4}=0}$ và ${\displaystyle N^{3}\neq 0}$).

Các tính chất đặc trưng

Cho N là một ma trận vuông cấp n với các phần tử thực (hoặc phức), các mệnh đề sau là tương đương:

1. N lũy linh.
2. Đa thức cực tiểu của N là λ^k với số nguyên dương k ≤ n.
3. Đa thức đặc trưng của N là λⁿ.
4. N có trị riêng duy nhất là 0.
5. tr(N^k) = 0 với mọi k ≥ 0.

Định lý cũng đúng cho các ma trận trên mọi trường.

Hệ quả

• Bậc của một ma trận lũy linh luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng cấp của nó. Ví dụ mọi ma trận lũy linh cấp 2 × 2 đều có bình phương bằng 0.
• Định thức và vết của một ma trận lũy linh luôn bằng 0.
• Một ma trận 2 × 2 là lũy linh khi và chỉ khi cả định thức và vết của nó bằng 0.
• Ma trận đường chéo lũy linh duy nhất là ma trận không.

Các tính chất khác

• Nếu M và N là 2 ma trận lũy linh và tích của chúng có tính giao hoán thì M+N và MN đều là các ma trận lũy linh,
• Nếu N là ma trận lũy linh thì, thì ma trận I + N khả nghịch (với I là ma trận đơn vị cấp n), đồng thời::${\displaystyle \det(I+N)=1,\!\,}$:
• Nếu N là một ma trận thỏa mãn::${\displaystyle \det(I+tN)=1\!\,}$: với mọi t, thì N lũy linh.
• Mọi ma trận suy biến đều có thể viết thành tích của các ma trận lũy linh.

Tham khảo