Trường thặng dư

Trong toán học, trường thặng dư là một cấu trúc cơ bản trong đại số giao hoán. Nếu R là một vành giao hoán và m là một i-đê-an tối đại, thì trường thặng dư là vành thương k=R/m, là một trường.^[1] Thông thường, R là một vành địa phương và m là i-đê-an tối đaị duy nhất của nó.

Trong hình học đại số, vỡi mỗi điểm x của một lược đồ X, ta có một trường thặng dư k(x).^[2]  

Định nghĩa

Giả sử R là một vành địa phương giao hoán, với m là i-đê-an tối đại của nó. Thế thì trường thặng dư là vành thương R/m.

Bây giờ giả sử X là một lược đồ và x là một điểm của X. Theo định nghĩa của lược đồ, ta có một lân cận a-phin U=Spec(A), với A là một vành giao hoán. Điểm x tương ứng với một i-đê-an nguyên tố p ⊂ A. Vành địa phương của X tại x được định nghĩa là địa phương hóa R=A_p,^[3] với i-đê-an tối đại m=p·A_p. Ta có trường thặng dư tại điểm x:

k(x):=A_p/p·A_p.

Người ta có thể chứng minh rằng định nghĩa này không phụ thuộc vào cách lựa chọn lân cận mở a-phin U. ^[4]

Thí dụ

Xét đường thẳng a-phin A¹(k)=Spec(k[t]) trên một trường k. Nếu k đóng đại số, có chính xác hai loại i-đê-an nguyên tố, đó là

• (t -a), a ∈ k
• (0), i-đê-an không.

Các trường thặng dư là

• ${\displaystyle k[t]_{(t-a)}/(t-a)k[t]_{(t-a)}\cong k}$
• ${\displaystyle k[t]_{(0)}\cong k(t)}$, trường hàm một biến trên k.

Nếu k không đóng đại số, thì sẽ xuất hiện nhiều loại i-đê-an hơn, ví dụ nếu k = R, thì i-đê-an nguyên tố (x²+1) có trường thặng dư đẳng cấu với C.

Tính chất

• Một cấu xạ Spec(K) → X, K một trường, tương đương với việc cho một điểm x ∈ X và một mở rộng trường K/k(x).

Chú thích

1. Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (ấn bản thứ 3). Wiley. ISBN 9780471433347.
2. David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (ấn bản thứ 2). Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 3-540-63293-X.
3. Ngô Bảo Châu, Giáo trình hình học đại số, 2003
4. Intuitively, the residue field of a point is a local invariant. Axioms of schemes are set up in such a way as to assure the compatibility between various affine open neighborhoods of a point, which implies the statement.

Tham khảo

• Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, section II.2
• Ngô Bảo Châu, 2003, Giáo trình hình học đại số.