Trường đóng đại số

Trong toán học, một trường được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức một ẩnbậc khác không, với hệ số trong , có nghiệm trong .

Trường số thực không là đóng đại số vì đa thức

không có nghiệm thực, mặc dù cả ba hệ số của nó (1, 0 và 1) là số thực. Cũng vì thế trường các số hữu tỷ không là đóng đại số. Tất cả các trường hữu hạn không là đóng đại số vì nếu , , ..., là các phần tử của , thì đa thức

luôn khác không trên .

Trường số phức là trường đóng đại số theo định lý cơ bản của đại số. Một ví dụ khác của một trường đóng đại số là trường các số (phức) đại số.

Các tính chất tương đương

[sửa | sửa mã nguồn]

Trường là đóng đại số khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:

  • Mọi đa thức có bậc  ≥ , với hệ số trong phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính, nghĩa là tồn tại các phần tử , ...,  của trường sao cho
  • Trường không có mở rộng đại số thực sự.
  • Với mọi số tự nhiên , mọi ánh xạ tuyến tính từ vào chính nó là đẳng cấu.
  • Mọi hàm hữu tỷ của một biến , với hệ số trong , có thể viết như tổng của các hàm đa thức của các hàm hữu tỷ dạng , trong đó là số tự nhiên, và , là các phần tử của .

Các tính chất khác

[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu là một trường đóng đại số, là phần tử của , và là số tự nhiên, thì có một căn bậc th trong (vì phương trình có nghiệm trong . Tuy thế, có những trường có căn bậc th (với mọi số tự nhiên ) nhưng không là trường đóng đại số.

Theo bổ đề Zorn, mọi trường bao đóng đại số duy nhất, đó là trường đóng đại số nhỏ nhất chứa như một trường con.

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
Sơ lược lịch sử đầy chính trị của Phở
Sơ lược lịch sử đầy chính trị của Phở
Phở đã trở nên gần gũi với Văn hóa Việt Nam tới mức người ta đã dùng nó như một ẩn dụ trong các mối quan hệ tình cảm
Sigewinne – Lối chơi, hướng build và đội hình
Sigewinne – Lối chơi, hướng build và đội hình
Sigewinne có đòn trọng kích đặc biệt, liên tục gây dmg thủy khi giữ trọng kích
Góc nhìn khác về nhân vật Bố của Nobita
Góc nhìn khác về nhân vật Bố của Nobita
Ông Nobi Nobisuke hay còn được gọi là Bố của Nobita được tác giả Fujiko F. Fujio mô tả qua những câu truyện là một người đàn ông trung niên với công việc công sở bận rộn
[Next Comer - Limited Banner - Awakening AG] Factor Nio/ Awaken Nio - The Puppet Emperor
[Next Comer - Limited Banner - Awakening AG] Factor Nio/ Awaken Nio - The Puppet Emperor
Nio từ chối tử thần, xoá bỏ mọi buff và debuff tồn tại trên bản thân trước đó, đồng thời hồi phục 100% HP