Trường đóng đại số

Trong toán học, một trường được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức một ẩnbậc khác không, với hệ số trong , có nghiệm trong .

Trường số thực không là đóng đại số vì đa thức

không có nghiệm thực, mặc dù cả ba hệ số của nó (1, 0 và 1) là số thực. Cũng vì thế trường các số hữu tỷ không là đóng đại số. Tất cả các trường hữu hạn không là đóng đại số vì nếu , , ..., là các phần tử của , thì đa thức

luôn khác không trên .

Trường số phức là trường đóng đại số theo định lý cơ bản của đại số. Một ví dụ khác của một trường đóng đại số là trường các số (phức) đại số.

Các tính chất tương đương

[sửa | sửa mã nguồn]

Trường là đóng đại số khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương sau:

  • Mọi đa thức có bậc  ≥ , với hệ số trong phân tích được thành tích các nhân tử tuyến tính, nghĩa là tồn tại các phần tử , ...,  của trường sao cho
  • Trường không có mở rộng đại số thực sự.
  • Với mọi số tự nhiên , mọi ánh xạ tuyến tính từ vào chính nó là đẳng cấu.
  • Mọi hàm hữu tỷ của một biến , với hệ số trong , có thể viết như tổng của các hàm đa thức của các hàm hữu tỷ dạng , trong đó là số tự nhiên, và , là các phần tử của .

Các tính chất khác

[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu là một trường đóng đại số, là phần tử của , và là số tự nhiên, thì có một căn bậc th trong (vì phương trình có nghiệm trong . Tuy thế, có những trường có căn bậc th (với mọi số tự nhiên ) nhưng không là trường đóng đại số.

Theo bổ đề Zorn, mọi trường bao đóng đại số duy nhất, đó là trường đóng đại số nhỏ nhất chứa như một trường con.

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
Hướng dẫn tải và cài đặt ứng dụng CH Play cho mọi iPhone, iPad
Hướng dẫn tải và cài đặt ứng dụng CH Play cho mọi iPhone, iPad
Được phát triển bởi thành viên của Group iOS CodeVn có tên Lê Tí, một ứng dụng có tên CH Play đã được thành viên này tạo ra cho phép người dùng các thiết bị sử dụng hệ điều hành iOS có thể trải nghiệm kho ứng dụng của đối thủ Android ngay trên iPhone, iPad của mình
Đứa con của thời tiết (Weathering with You)
Đứa con của thời tiết (Weathering with You)
Nếu là người giàu cảm xúc, hẳn bạn sẽ nhận thấy nỗi buồn chiếm phần lớn. Điều này không có nghĩa là cuộc đời toàn điều xấu xa, tiêu cực
Một chút về Sayu - Genshin Impact
Một chút về Sayu - Genshin Impact
Sayu là một ninja bé nhỏ thuộc Shuumatsuban – một tổ chức bí mật dưới sự chỉ huy của Hiệp Hội Yashiro
Evil Does Not Exist: ở nơi đâu cái ác không tồn tại?
Evil Does Not Exist: ở nơi đâu cái ác không tồn tại?
Lòng tốt có tồn tại, tình yêu có tồn tại, lòng vị tha có tồn tại, nhưng cái ác lại không tồn tại.