Đạo hàm của các hàm lượng giác

Đạo hàm của các hàm lượng giác là phương pháp toán học tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp là sin(x), cos(x) và tan(x).

Biết được đạo hàm của sin(x) và cos(x), chúng ta dễ dàng tìm được đạo hàm của các hàm lượng giác còn lại do chúng được biểu diễn bằng hai hàm trên, bằng cách dùng quy tắc thương. Phép chứng minh đạo hàm của sin(x) và cos(x) được diễn giải ở bên dưới, và từ đó cho phép tính đạo hàm của các hàm lương giác khác. Việc tính đạo hàm của hàm lượng giác ngược và một số hàm lượng giác thông dụng khác cũng được trình bày ở bên dưới.

Đạo hàm của các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược

[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh đạo hàm của hàm sin và cos

[sửa | sửa mã nguồn]

Giới hạn của khi θ → 0

[sửa | sửa mã nguồn]
Đường tròn tâm O bán kính r

Cho đường tròn tâm O bán kính r (hình bên). Gọi θ là góc tại O tạo bởi OAOK. Do ta giả định θ tiến dần tới 0, có thể xem θ là một số dương rất nhỏ: 0 < θ ≪ 1.

Gọi: R1 là diện tích tam giác OAK, R2 là diện tích hình quạt OAK, R3 là diện tích tam giác OAL. Dễ thấy:

Dùng công thức lượng giác, tính được diện tích tam giác OAK

Diện tích hình quạt OAK, còn diện tích tam giác OAL

Từ đó ta có:

r > 0 ta chia bất đẳng thức trên cho ½·r2. Ngoài ra, vì 0 < θ ≪ 1 dẫn đến sin(θ) > 0, ta có thể chia bất đẳng thức cho sin(θ), từ đó:

Theo định lý kẹp ta có

Trong trường hợp θ là số âm rất nhỏ là tiến dần tới 0, tức là: –1 ≪ θ < 0, sử dụng tính chất lẻ của hàm sin ta được:

Và do đó:

Giới hạn của khi θ → 0

[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có

sin2θ + cos2θ = 1 nên cos2θ – 1 = –sin2θ. Do đó

Đạo hàm của hàm sin

[sửa | sửa mã nguồn]

Theo định nghĩa đạo hàm:

Dùng công thức biến đổi lượng giác sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

Đạo hàm của hàm cos

[sửa | sửa mã nguồn]

Theo định nghĩa:

Dùng công thức biến đổi lượng giác cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

Chứng minh đạo hàm của các hàm ngược

[sửa | sửa mã nguồn]

Đạo hàm của hàm arcsin

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho

Trong đó

Thì ta có

Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx:

Thế ,

Thế ,

Đạo hàm của hàm arccos

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho

Trong đó

Thì ta có

Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx:

Thế ,

Thế ,

Đạo hàm của hàm arctang

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho

Trong đó

Thì ta có

Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx

Thế ,

Thế ,

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
Cảm nhận của cư dân mạng Nhật Bản về Conan movie 26: Tàu Ngầm Sắt Đen
Cảm nhận của cư dân mạng Nhật Bản về Conan movie 26: Tàu Ngầm Sắt Đen
Movie đợt này Ran đóng vai trò rất tích cực đó. Không còn ngáng chân đội thám tử nhí, đã thế còn giúp được cho Conan nữa, bao ngầu
Anime Ganbare Douki-chan Vietsub
Anime Ganbare Douki-chan Vietsub
Dù rằng vẫn luôn cố gắng kiềm nén cảm xúc, chàng trai lại không hề hay biết Douki-chan đang thầm thích mình
Hướng dẫn build Varesa trong Genshin Impact
Hướng dẫn build Varesa trong Genshin Impact
Dù là nhân vật pháp khí nhưng Varesa có chỉ số HP và Def khá ổn (khá thicc 🐧), sẽ hỗ trợ cô với khả năng sustain của bản thân, nhất là với lối chơi có phần khó né của cô.
Cẩm nang để một mình - đừng cố để có một người bạn
Cẩm nang để một mình - đừng cố để có một người bạn
Tôi đã từng là một người cực kì hướng ngoại. Đối với thế giới xung quanh, tôi cảm thấy đơn độc đến vô vàn