Đạo hàm của các hàm lượng giác

Đạo hàm của các hàm lượng giác là phương pháp toán học tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác thường gặp là sin(x), cos(x) và tan(x).

Biết được đạo hàm của sin(x) và cos(x), chúng ta dễ dàng tìm được đạo hàm của các hàm lượng giác còn lại do chúng được biểu diễn bằng hai hàm trên, bằng cách dùng quy tắc thương. Phép chứng minh đạo hàm của sin(x) và cos(x) được diễn giải ở bên dưới, và từ đó cho phép tính đạo hàm của các hàm lương giác khác. Việc tính đạo hàm của hàm lượng giác ngược và một số hàm lượng giác thông dụng khác cũng được trình bày ở bên dưới.

Đạo hàm của các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược

[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh đạo hàm của hàm sin và cos

[sửa | sửa mã nguồn]

Giới hạn của khi θ → 0

[sửa | sửa mã nguồn]
Đường tròn tâm O bán kính r

Cho đường tròn tâm O bán kính r (hình bên). Gọi θ là góc tại O tạo bởi OAOK. Do ta giả định θ tiến dần tới 0, có thể xem θ là một số dương rất nhỏ: 0 < θ ≪ 1.

Gọi: R1 là diện tích tam giác OAK, R2 là diện tích hình quạt OAK, R3 là diện tích tam giác OAL. Dễ thấy:

Dùng công thức lượng giác, tính được diện tích tam giác OAK

Diện tích hình quạt OAK, còn diện tích tam giác OAL

Từ đó ta có:

r > 0 ta chia bất đẳng thức trên cho ½·r2. Ngoài ra, vì 0 < θ ≪ 1 dẫn đến sin(θ) > 0, ta có thể chia bất đẳng thức cho sin(θ), từ đó:

Theo định lý kẹp ta có

Trong trường hợp θ là số âm rất nhỏ là tiến dần tới 0, tức là: –1 ≪ θ < 0, sử dụng tính chất lẻ của hàm sin ta được:

Và do đó:

Giới hạn của khi θ → 0

[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có

sin2θ + cos2θ = 1 nên cos2θ – 1 = –sin2θ. Do đó

Đạo hàm của hàm sin

[sửa | sửa mã nguồn]

Theo định nghĩa đạo hàm:

Dùng công thức biến đổi lượng giác sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

Đạo hàm của hàm cos

[sửa | sửa mã nguồn]

Theo định nghĩa:

Dùng công thức biến đổi lượng giác cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) và hai giới hạn vừa chứng minh ở trên, ta được

Chứng minh đạo hàm của các hàm ngược

[sửa | sửa mã nguồn]

Đạo hàm của hàm arcsin

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho

Trong đó

Thì ta có

Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx:

Thế ,

Thế ,

Đạo hàm của hàm arccos

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho

Trong đó

Thì ta có

Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx:

Thế ,

Thế ,

Đạo hàm của hàm arctang

[sửa | sửa mã nguồn]

Cho

Trong đó

Thì ta có

Dùng đạo hàm ẩn và giải dy/dx

Thế ,

Thế ,

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
Cẩm nang để một mình - đừng cố để có một người bạn
Cẩm nang để một mình - đừng cố để có một người bạn
Tôi đã từng là một người cực kì hướng ngoại. Đối với thế giới xung quanh, tôi cảm thấy đơn độc đến vô vàn
[Next Comer - Limited Banner - Awakening AG] Factor Nio/ Awaken Nio - The Puppet Emperor
[Next Comer - Limited Banner - Awakening AG] Factor Nio/ Awaken Nio - The Puppet Emperor
Nio từ chối tử thần, xoá bỏ mọi buff và debuff tồn tại trên bản thân trước đó, đồng thời hồi phục 100% HP
Chiori – Lối chơi, hướng build và đội hình
Chiori – Lối chơi, hướng build và đội hình
Như ta sẽ thấy, Chiori là nhân vật scale song song def và att. Mặc dù base att của cô cũng khá cao (top 11)
Long Chủng và Slime trong Tensura sự bình đẳng bất bình thường.
Long Chủng và Slime trong Tensura sự bình đẳng bất bình thường.
Những cá thể độc tôn mạnh mẽ nhất trong Tensura, hiện nay có tổng cộng 4 Long Chủng được xác nhận