Gốc của một i-đê-an

Trong lý thuyết vành giao hoán, một nhánh của toán học, gốc của một i-đê-an ${\displaystyle I}$ (hay cũng gọi là ra-đi-can của ${\displaystyle I}$, cũng viết là radical) là một i-đê-an sao cho một phần tử ${\displaystyle x}$ là một phần tử trong gốc và chỉ khi một lũy thừa của ${\displaystyle x}$ nằm trong ${\displaystyle I}$. Một i-đê-an gốc (hay i-đê-an bán nguyên tố) là một i-đê-an có gốc bằng với chính nó. Gốc của một i-đê-an sơ cấp là một i-đê-an nguyên tố.

Khái niệm này được khái quát cho các vành không giao hoán trong bài viết về vành bán nguyên tố.

Định nghĩa

Gốc của một i-đê-an ${\displaystyle I}$ trong một vành giao hoán ${\displaystyle R}$, ký hiệu ${\displaystyle \operatorname {rad} (I)}$ hoặc là ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$, được định nghĩa là

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}:r^{n}\in I\}}$

Ví dụ

• Xét vành ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ các số nguyên.

1. Gốc của ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ là ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$.
2. Gốc của ${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$ là ${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$.
3. Gốc của ${\displaystyle 12\mathbb {Z} }$ là ${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$.
4. Gốc của ${\displaystyle m\mathbb {Z} }$ là ${\displaystyle r\mathbb {Z} }$ với ${\displaystyle r}$ là tích các ước số nguyên tố phân biệt của ${\displaystyle m}$.

• Xét i-đê-an ${\displaystyle I=(y^{4})\subset \mathbb {C} [x,y].}$ Ta có ${\displaystyle {\sqrt {I}}=(y)}$.

Tính chất

Xét một vành giao hoán ${\displaystyle R}$:

• Ta có ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$.
• ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ là giao của các i-đê-an nguyên tố chứa ${\displaystyle I}$

  ${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{\scriptscriptstyle {\begin{array}{c}{\mathfrak {p}}{\text{ nguyên tố}}\\R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I\end{array}}}{\mathfrak {p}}}$

• Một i-đê-an ${\displaystyle I}$ của một vành ${\displaystyle R}$ là một i-đê-an gốc khi và chỉ khi vành thương ${\displaystyle R/I}$ là một vành giảm.

Tham khảo

• M. Atiyah, IG Macdonald, Giới thiệu về Đại số giao hoán, Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-40751-5 Mã số   0-201-40751-5
• Eisenbud, David, Đại số giao hoán với quan điểm hướng tới hình học đại số, văn bản cao học toán học, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
• Lang, Serge (2002), ‘’Đại số’’, Văn bản cao học Toán học, 211 (Sửa đổi lần thứ ba.), New York: Springer-Verlag, ISBN   Lang, Serge Lang, SergeMR   1878556, Zbl   0984.00001