Giai thừa nguyên tố

Với n ≥ 2, giai thừa nguyên tố (tiếng Anh: primorial) (ký hiệu n#) là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng n. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của prime và factorial.

Dãy các giai thừa nguyên tố đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo OEIS).

Định nghĩa cho các số nguyên tố

Đối với số nguyên tố tứ $n$ $p n$ , primorial $p n #$ được định nghĩa là tích của $n$ số nguyên tố đầu tiên:^[1]^[2]

p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}

,

trong đó $p k$ là số nguyên tố thứ $k$ . Để lấy ví dụ, $p 5 #$ là tích của 5 số nguyên tố đầu tiên:

p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

5 primorial $p n #$ đầu tiên là:

2, 6, 30, 210, 2310 (dãy số A002110 trong bảng OEIS).

Dãy cũng bao gồm $p 0 # = 1$ là tích rỗng. Theo tiệm cận thì, các primorial $p n #$ lớn ngang với:

p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},

trong đó $o ( )$ là ký hiệu o nhỏ.^[2]

Định nghĩa cho các số tự nhiên

Đối với số tự nhiên $n$ , primorial của n, $n#$ , là tích của các số nguyên tố không lớn hơn $n$ ; nghĩa là,^[1]^[3]

n\#=\prod _{p\leq n \atop p{\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#

,

trong đó $π (n)$ là hàm đếm số nguyên tố (dãy số A000720 trong bảng OEIS), hàm đếm các số nguyên tố $p$ ≤ $n$ . Định nghĩa này tương đương với:

n\#={\begin{cases}1&{\text{nếu }}n=0,\ 1\\(n-1)\#\times n&{\text{nếu }}n{\text{ là số nguyên tố}}\\(n-1)\#&{\text{nếu }}n{\text{ là hợp số}}.\end{cases}}

Để lấy ví dụ, 12# là tích của các số nguyên tố p ≤ 12:

12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.

Bởi $π (12) = 5$ , ta cũng có thể tính như sau:

12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.

12 giá trị đầu tiên của $n #$ là :

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Tính chất và ứng dụng

Ý tưởng lấy tích của tất cả các số nguyên tố nằm trong chứng minh số các số nguyên tố là vô hạn; nó được sử dụng để mâu thuẫn khi giả thiết rằng số các số nguyên tố là hữu hạn.

Các Primorial đóng vai trò quan trọng trong việc tìm các số nguyên tố trong cấp số cộng. Chẳng hạn, 2236133941 + 23# là một số nguyên tố, khởi đầu dãy 13 số nguyên tố bằng cách cộng thêm 23#, và kết thúc với 5136341251. Số 23# chính là công bội của các cấp số cộng gồm mười lăm và mười sáu số nguyên tố.

Mọi siêu hợp số có thể viết thành tích của các giai thừa nguyên tố (ví dụ như 360 = 2·6·30).

Bảng các giai thừa nguyên tố

$n$	$n #$	$p n$	$p n #$ ^[4]	Là số nguyên tố Primorial?
$n$	$n #$	$p n$	$p n #$ ^[4]	p_n# + 1^[5]	p_n# − 1^[6]
0	1	—	1	Có	Không
1	1	2	2	Có	Không
2	2	3	6	Có	Có
3	6	5	30	Có	Có
4	6	7	210	Có	Không
5	30	11	2310	Có	Có
6	30	13	30030	Không	Có
7	210	17	510510	Không	Không
8	210	19	9699690	Không	Không
9	210	23	223092870	Không	Không
10	210	29	6469693230	Không	Không
11	2310	31	200560490130	Có	Không
12	2310	37	7420738134810	Không	Không
13	30030	41	304250263527210	Không	Có
14	30030	43	13082761331670030	Không	Không
15	30030	47	614889782588491410	Không	Không
16	30030	53	32589158477190044730	Không	Không
17	510510	59	1922760350154212639070	Không	Không
18	510510	61	117288381359406970983270	Không	Không
19	9699690	67	7858321551080267055879090	Không	Không
20	9699690	71	557940830126698960967415390	Không	Không
21	9699690	73	40729680599249024150621323470	Không	Không
22	9699690	79	3217644767340672907899084554130	Không	Không
23	223092870	83	267064515689275851355624017992790	Không	Không
24	223092870	89	23768741896345550770650537601358310	Không	Có
25	223092870	97	2305567963945518424753102147331756070	Không	Không
26	223092870	101	232862364358497360900063316880507363070	Không	Không
27	223092870	103	23984823528925228172706521638692258396210	Không	Không
28	223092870	107	2566376117594999414479597815340071648394470	Không	Không
29	6469693230	109	279734996817854936178276161872067809674997230	Không	Không
30	6469693230	113	31610054640417607788145206291543662493274686990	Không	Không
31	200560490130	127	4014476939333036189094441199026045136645885247730	Không	Không
32	200560490130	131	525896479052627740771371797072411912900610967452630	Không	Không
33	200560490130	137	72047817630210000485677936198920432067383702541010310	Không	Không
34	200560490130	139	10014646650599190067509233131649940057366334653200433090	Không	Không
35	200560490130	149	1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410	Không	Không
36	200560490130	151	225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910	Không	Không
37	7420738134810	157	35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870	Không	Không
38	7420738134810	163	5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810	Không	Không
39	7420738134810	167	962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270	Không	Không
40	7420738134810	173	166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710	Không	Không