Hàm rect

Hàm rect.

Hàm chữ nhật hay hàm rect là một hàm toán học liên tục được định nghĩa như sau:^[1]

${\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\text{khi }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{khi }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\text{khi }}|t|<{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}$

Ngoài ra, trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là lĩnh vực xử lý tín hiệu, hàm rect còn được định nghĩa theo cách khác như sau:^[2]

${\displaystyle \operatorname {rect_{d}} (t)={\begin{cases}1&{\text{khi }}|t|\leq {\frac {1}{2}}\\[3pt]0&{\text{khi }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}$

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục của hàm rect là một hàm sinc:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (\pi f)=\mathrm {si} (f).\end{aligned}}}$

và:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right).}$

Mối quan hệ với hàm tri

Tích chập của 2 hàm rect là 1 hàm tri.

${\displaystyle \mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t).\,}$

Ứng dụng trong xác suất

Sử dụng hàm rect như là một hàm mật độ xác suất, nó là 1 trường hợp đặc biệt của phân phối đều liên tục với ${\displaystyle a,b=-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}$.

Hàm đặc trưng:

${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},\,}$

Hàm sinh mômen:

${\displaystyle M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}},\,}$

với ${\displaystyle \mathrm {sinh} (t)}$ là một hàm hypebolic.

Biểu diễn bằng hàm hữu tỉ

Hàm rect có thể được biểu diễn dưới dạng là giới hạn của 1 hàm hữu tỉ:

${\displaystyle \sqcap (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}}$

Chứng minh

• Trường hợp ${\displaystyle |t|<{\frac {1}{2}}}$. Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t<1 cho nên (2t)2n→0 khi n→∝.

Suy ra:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\frac {1}{2}}}$

• Trường hợp ${\displaystyle |t|>{\frac {1}{2}}}$. Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t>1 cho nên (2t)2n→∝ khi n→∝.

Suy ra:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\frac {1}{2}}}$

• Trường hợp ${\displaystyle |t|={\frac {1}{2}}}$.

Dễ dàng ta có:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}}$

Từ đó có thể định nghĩa hàm rect như sau:

${\displaystyle \therefore \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\blacksquare \\\end{cases}}}$

Chú thích

1. Weisstein, Eric W. (ngày 15 tháng 8 năm 2011). “Rectangle Function”. Wolfram MathWorld. Wolfram. Truy cập ngày 15 tháng 8 năm 2011.
2. (tiếng Đức)Signalübertragung (ấn bản thứ 6.). Springer Verlag. 1995. tr. 2. ISBN 3-540-54824-6. |first= thiếu |last= (trợ giúp)