ISO 31-11

ISO 31-11 là một phần của các tiêu chuẩn quốc tế ISO 31 định nghĩa các ký hiệu toán học sử dụng trong vật lý và kỹ thuật.

Nội dung ISO 31-11

Logíc toán

Ký hiệu	Ví dụ	Tên	Ý nghĩa và các từ tương đương	Ghi chú
∧	p ∧ q	ký hiệu phép hội	p và q
∨	p ∨ q	ký hiệu phép tuyển	p hoặc q (hoặc cả hai)
¬	¬ p	ký hiệu phủ định	phủ định của p; không p
${\displaystyle \Rightarrow }$	p ${\displaystyle \Rightarrow }$ q	ký hiệu kéo theo	nếu p thì q; p kéo theo q	Có thể viết: q ${\displaystyle \Leftarrow }$ p. Đôi khi dùng ${\displaystyle \Leftarrow }$.
${\displaystyle \forall }$	${\displaystyle \forall }$x∈A p(x) (${\displaystyle \forall }$x∈A) p(x)	lượng tử phổ dụng	với mọi x thuộc A, khẳng định p(x) đúng	điều kiện "∈A" đôi khi có thể bỏ qua.
${\displaystyle \exists }$	${\displaystyle \exists }$x∈A p(x) (${\displaystyle \exists }$x∈A) p(x)	lượng tử riêng	có ít nhất một x thuộc A để khẳng địnhp(x) là đúng	phần "∈A" đôi khi có thể bỏ qua. ${\displaystyle \exists }$! được dùng khi có đúng một x để p(x) là đúng.

Tập hợp

Ký hiệu	Ví dụ	Ý nghĩa và các phát biểu tương đương	Ghi chú
∈	x ∈ A	x thuộc A; x là phần tử của tập A
${\displaystyle \notin }$	x ${\displaystyle \notin }$ A	x không thuộc A; x không là phần tử của tập A
${\displaystyle \ni }$	A ${\displaystyle \ni }$ x	tập A chứa x (như một phần tử)	ý nghĩa giống như x ∈ A
${\displaystyle \notin }$	A ${\displaystyle \notin }$ x	tập A không chứa x (như một phần tử	có ý nghĩa như x ${\displaystyle \notin }$ A
{ }	{x1, x2,..., xn}	tập hợp gồm các phần tử x1, x2,..., xn	có ý nghĩa như {xi: i ∈ I}, trong đó I ký hiệu tập các chỉ số
{ ∣ }	{x ∈ A ∣ p(x)}	tập các phần tử thuộc A sao cho khẳng định p(x) là đúng	Ví dụ: {x ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ∣ x > 5} ký hiệu ∈A có thể bỏ qua khi ý nghĩa đã rõ ràng.
card	card(A)	số các phần tử của tập A; lực lượng của tập A
∅		tập hợp rỗng
${\displaystyle \mathbb {N} }$		tập các số tự nhiên; tập các số nguyên dương và số không	${\displaystyle \mathbb {N} }$ = {0, 1, 2, 3,...} Tập số tự nhiên không tính số không được ký hiệu thêm dấu "*": ${\displaystyle \mathbb {N} }$^* = {1, 2, 3,...} ${\displaystyle \mathbb {N} }$k = {0, 1, 2, 3,..., k − 1}
${\displaystyle \mathbb {Z} }$		tập các số nguyên	${\displaystyle \mathbb {Z} }$ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$^* = ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ \ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3,...}
${\displaystyle \mathbb {Q} }$		tập các số hữu tỉ	${\displaystyle \mathbb {Q} }$^* = ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ \ {0}
I		tập các số vô tỉ
${\displaystyle \mathbb {R} }$		${\displaystyle \mathbb {R} }$^* = ${\displaystyle \mathbb {R} }$ \ {0}
${\displaystyle \mathbb {C} }$		tập các số phức	${\displaystyle \mathbb {C} }$^* = ${\displaystyle \mathbb {C} }$ \ {0}
[,]	[a,b]	khoảng đóng trong ${\displaystyle \mathbb {R} }$ từ a đến b	[a,b] = {x ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ∣ a ≤ x ≤ b}
],] (,]	]a,b] (a,b]	khoảng nửa mở trái trong ${\displaystyle \mathbb {R} }$ từ a tới b	]a,b] = {x ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ∣ a < x ≤ b}
[,[ [,)	[a,b[ [a,b)	khoảng nửa mở phải trong ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tính từ a tới b (không chứa b)	[a,b[ = {x ∈ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ∣ a ≤ x < b}
],[ (,)	]a,b[ (a,b)	khoảng mở trong ${\displaystyle \mathbb {R} }$ từ a đến b	]a,b[ = {x ∈${\displaystyle \mathbb {R} }$ ∣ a < x < b}
${\displaystyle \subset }$	B${\displaystyle \subset }$ A	B bao hàm trong A; B là tập con của A	Mọi phần tử của B đều thuộc A. Ký hiệu ⊂ cũng được sử dụng.
∪	A ∪ B	hợp của A và B	Tập hợp các phần tử thuộc A hoặc thuộc B hoặc thuộc cả A và B. A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B }
${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}}$	${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$	hợp của họ các tập	${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}}$, tập các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập A1, …, An. ${\displaystyle \bigcup {}_{i=1}^{n}}$ và ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}}$, cũng có thể dùng ${\displaystyle \bigcup }$i∈I.
∩	A ∩ B	giao của A và B	Tập các phần tử thuộc cả A và B. A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B }
${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}}$	${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$	giao của họ các tập	${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n}}$, tập các phần tử thuộc tất cả các tập A1, …, An. ${\displaystyle \bigcap {}_{i=1}^{n}}$ và ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}}$
\	A \ B	hiệu giữa A và B; A trừ B	Tập các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. A \ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ${\displaystyle \notin }$ B } Cũng có thể dùng A − B.
C	CAB	phần bù của tập con B của A	Tập tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Ký hiệu A thường được bỏ qua nếu tập A được hiểu tường minh. Tương tự CAB = A \ B.
(,)	(a, b)	cặp có thứ tự a, b; cặp a, b	(a, b) = (c, d) nếu và chỉ nếu a = c và b = d.
(,…,)	(a1, a2, …, an)	bộ-n có thứ tự	ký hiệu ⟨a1, a2, …, an⟩ cũng được sử dụng.
×	A × B	Tích Descartes của A và B	Tập các cặp (a, b) trong đó a ∈ A và b ∈ B. A × B = { (a, b) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } A × A ×... × A được ký hiệu là A^n, trong đó n là số nhân tử của tích.
Δ	ΔA	tập các cặp (x, x) ∈ A × A trong đó x ∈ A; đường chéo của tập A × A	ΔA = { (x, x) ∣ x ∈ A } Cũng có thể dùng ký hiệu idA.

Các ký hiệu khác

Ký hiệu	Ví dụ	Ý nghĩa	Ghi chú
=	a = b	a bằng b	Có thể dùng ≡ để biểu đạt rằng đẳng thức là hằng đúng.
≠	a ≠ b	a không bằng b	${\displaystyle a\not \equiv b}$ có thể sử dụng để nói rằng a không luôn luôn bằng b.
${\displaystyle \leftarrow }$	a ${\displaystyle \leftarrow }$ b	a được gán bằng b	Cũng còn dùng:=
≙	a ≙ b	a tương đương với b	On a 1:10^6 map: 1 cm ≙ 10 km.
≈	a ≈ b	a xấp xỉ b
∼ ∝	a ∼ b a ∝ b	a tương ứng với b
<	a < b	a nhỏ hơn b
>	a > b	a lớn hơn b
≤	a ≤ b	a lớn hơn hoặc bằng b	Có thể dùng ≦.
≥	a ≥ b	a nhỏ hơn hoặc bằng b	Có thể dùng ≧.
∞		vô cực
∥	AB ∥ CD	đường thẳng AB song song với đường thẳng CD
${\displaystyle \perp }$	AB ${\displaystyle \perp }$ CD	đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD[1]

Các phép toán

Ký hiệu	Ví dụ	Ý nghĩa	Ghi chú
+	a + b	a cộng b
−	a − b	a trừ b
±	a ± b	a cộng hoặc trừ b
∓	a ∓ b	a trừ hoặc cộng b	−(a ± b) = −a ∓ b
^	a^b	lũy thừa
√	...	căn bậc	...
⋮

Các hàm

Ví dụ	Ý nghĩa	Ghi chú
f	hàm f	...
...	...	...
⋮

Hàm mũ và hàm lôgarit

Ví dụ	Ý nghĩa	Ghi chú
a^x	hàm mũ với cơ số a của x	...
e	cơ số của lôgarit tự nhiên	e = 2.718 281 8...
...	...	...
⋮

Các hàm đường tròn và hyperbol

Ví dụ	Ý nghĩa	Ghi chú
π	Tỷ lệ giữa chu vi của một đường tròn với đường kính của nó	π = 3.141 592 6...
...	...	...
⋮

Các số phức

Ví dụ	Ý nghĩa	Ghi chú
i   j	đơn vị ảo; i² = −1	Trong kỹ thuật, thường dùng j.
Re z	phần thực của z	z = x + iy, ở đây x = Re z và y = Im z
Im z	phần ảo của z
∣z∣	giá trị tuyệt đối của z; môđun của z	mod z
arg z	argument của z; phase của z	z = re^iφ, trong đó r = ∣z∣ và φ = arg z, nghĩa là Re z = r cos φ và Im z = r sin φ
z^*	(số phức) liên hợp của z	có thể dùng ${\displaystyle {\bar {z}}}$ thay cho z^*
sgn z	signum z	sgn z = z / ∣z∣ = exp(i arg z) với z ≠ 0, sgn 0 = 0

Matrận

ví dụ	Ý nghĩa	Ghi chú
A=${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$	ma trận A	...
...	...	...
⋮

Các hệ toạ độ

Các toạ độ	vị trí vecto	Tên hệ toạ độ	Ghi chú
x, y, z	...	Toạ độ Đê-cac	...
ϱ, φ, z	...	Toạ độ trụ	...
r, ϑ, φ	...	Toạ độ cầu	...

Vec-tơ và ten-xơ

Ví dụ	Ý nghĩa! Ghi chú
a ${\displaystyle {\vec {a}}}$	vec-tơ a	.
...	...	...
⋮

Soát xét ISO 31-11

Năm 2009, ISO 31-11 đã được thay thế bởi tiêu chuẩn ISO 80000-2. Tiêu chuẩn này đã được nhiều nước chấp nhận thành tiêu chuẩn quốc gia, tại Việt Nam là TCVN 7870-2:2010 (ISO 80000-2:2009) Đại lượng và đơn vị - Phần 2: Dấu và ký hiệu toán học dùng trong khoa học tự nhiên và công nghệ.

Xem thêm

• Ký hiệu toán học
• Ký pháp toán học

Chú thích

1. If the perpendicular symbol, &#x27C2h;, does not display correctly, it is similar to &#x22A5h; (up tack: sometimes meaning orthogonal to) and it also appears similar to &#x23CAh; (the dentistry: symbol light up and horizontal)