Logarit tự nhiên

Đồ thị hàm số của logarit tự nhiên.

Logarit tự nhiên (còn gọi là logarit Nêpe) là logarit cơ số e do nhà toán học John Napier sáng tạo ra. Ký hiệu là: ln(x), log_e(x).

Logarit tự nhiên của một số x là bậc của số e để số e lũy thừa lên bằng x. Tức là ln(x)=a ⇔ e^a=x. Ví dụ, ln(7.389) bằng 2 vì e²=7.389... Trong đó logarit tự nhiên của e bằng 1 và logarit tự nhiên của 1 bằng 0

Logarit tự nhiên được xác định với mọi số thực a (trừ số 0) là vùng dưới đồ thị ${\displaystyle y={1 \over x}}$ từ 1 đến a. Sự đơn giản của định nghĩa được sánh với các công thức khác kéo theo logarit tự nhiên, dẫn đến thuật ngữ "tự nhiên". Định nghĩa có thể được mở rộng đến số phức, được giải thích dưới đây.

Hàm số của logarit tự nhiên, nếu được coi là hàm số có nghĩa của biến thực, là hàm số của hàm mũ. Điều này dẫn đến sự đồng nhất:

${\displaystyle e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{khi }}x>0\,\!}$

${\displaystyle \ln(e^{x})=x\,\!}$

Như tất cả các logarit, logarit tự nhiên biến nhân thành cộng:

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\!\,}$

Do đó, hàm số logarit là một hàm số đơn điệu đi từ tập số thực dương dưới phép nhân vào tập số thực dưới phép cộng. Được miêu tả:

${\displaystyle \ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }$

Logarit được định nghĩa cho cơ số dương khác 1, không chỉ là số e. Tuy nhiên, logarit của các cơ số khác chỉ khác nhau bởi hàm số nhân liên tục từ logarit tự nhiên và thường được định nghĩa bằng thuật ngữ sau cùng. Logarit được sử dụng để giải các phương trình có số mũ là biến số. Ví dụ, Logarit được sử dụng để tính chu kì bán rã, hằng số phân rã, hoặc thời gian chưa biết trong những vấn đề phân rã chứa mũ. Logarit rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học và được sử dụng trong tài chính để giải quyết những vấn đề liên quan đến lãi suất kép.

Lịch sử

Người đầu tiên đề cập đến logarit tự nhiên là Nicholas Mercator trong tác phẩm Logarithmotechnia được công bố vào năm 1668, mặc dù giáo viên toán John Speidell đã biên soạn một bản về logarit tự nhiên. Ban đầu nó được gọi là logarit hyperbol, vì nó tương ứng với diện tích của một hyperbol. Nó cũng đôi khi được gọi là logarit Nêpe, mặc dù ý nghĩa ban đầu của thuật ngữ này là hơi khác nhau.

Nguồn gốc của thuật ngữ logarit tự nhiên

Ban đầu, logarit tự nhiên được coi là logarit cơ số 10, cơ số này "tự nhiên" hơn cơ số e. Nhưng theo toán học thì số 10 không có ý nghĩa đặc biệt. Ứng dụng của nó về văn hóa - làm cơ sở cho nhiều hệ thống đánh số xã hội, có khả năng phát sinh từ đặc trưng các ngón tay của con người. Các nền văn hóa khác đã dựa trên hệ thống số đếm của họ cho sự lựa chọn chẳng hạn như 5, 8, 12, 20, và 60.

Log_e là logarit tự nhiên bởi vì nó được bắt nguồn và xuất hiện thường xuyên trong toán học. Ví dụ hãy xem xét các vấn đề phân biệt một hàm lôgarit:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\ln(b)}}\ln {x}\right)={\frac {1}{\ln(b)}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(b)}}}$

Nếu cơ số b bằng e, thì đạo hàm chỉ đơn giản là ${\displaystyle {1 \over x}}$, và tại x=1 thì đạo hàm bằng 1. Mặt khác logarit cơ số e là logarit tự nhiên nhất vì có thể định nghĩa nó dễ dàng trong thuật ngữ của tích phân đơn giản hay dãy Taylor và điều này lại không đúng đối với logarit khác.

Những chiều hướng sau của sự tự nhiên không có ứng dụng trong tính toán. Như ví dụ sau, có một số dãy số đơn giản liên quan đến logarit tự nhiên. Pietro Mengoli và Nicholas Mercator gọi nó là logarithmus naturalis trong vài thập kỷ trước khi Isaac Newton và Gottfried Leibniz phát triển phép tính.

Những định nghĩa

ln(x) được định nghĩa là diện tích dưới đường cong ${\displaystyle f(x)={1 \over x}}$ từ 1 đến x.

ln(x) được định nghĩa chính là diện tích dưới đường cong f (x) = ${\displaystyle {1 \over x}}$ từ 1 đến x, gần giống như tích phân.

${\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$

Điều này định nghĩa một logarit vì nó đáp ứng các đặc tính cơ bản của một logarit:

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!}$

Điều này có thể được chứng minh bằng cách cho phép: ${\displaystyle t={\tfrac {x}{a}}}$ như sau:

${\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)}$

Số e sau đó được định nghĩa là số thực duy nhất để ln(a) = 1.

Ngoài ra, nếu hàm số mũ được định nghĩa bằng cách sử dụng chuỗi vô hạn, thì logarit tự nhiên được định nghĩa là hàm ngược của nó, tức ln là hàm số sao cho ${\displaystyle e^{\ln(x)}=x\!}$. Vì phạm vi của hàm mũ trên những đối số thực là tất cả các số thực dương và vì hàm số mũ là hàm luôn tăng, nên hàm log được xác định cho tất cả số dương x.

Tính chất

• ${\displaystyle \ln(1)=0\,}$
• ${\displaystyle \ln(-1)=i\pi \quad \,}$
• ${\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {,}}\quad 0<x<y\;}$
• ${\displaystyle {\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {,}}\quad h>-1\;}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1\,}$

Logarit tự nhiên trong giải tích

Logarit tự nhiên thừa nhận hàm số của giải tích đơn giản theo dạng: g(x) = f '(x)/f(x): một nguyên hàm của g(x) được cho bởi ln(|f(x)|). Đó là một trường hợp bởi vì những quy tắc của chuỗi và thực tế sau đây:

${\displaystyle \ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}}$

cách khác

${\displaystyle \int {1 \over x}dx=\ln |x|+C}$

và

${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$

Đây là một ví dụ trong trường hợp của g(x) = tan(x):

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx}$

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.}$

Đặt f(x) = cos(x) và f'(x)= - sin(x):

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C}$

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sin(x)\right|}+C}$

với C là một hằng số tùy ý của tích phân.

Logarit tự nhiên có thể được tích hợp bằng cách sử dụng tích phân của các bộ phận:

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$

Giá trị số

Để tính giá trị số logarit tự nhiên của một số, dãy số Taylor mở rộng có thể được viết lại như sau:

${\displaystyle \ln(1+x)=x\,\left({\frac {1}{1}}-x\,\left({\frac {1}{2}}-x\,\left({\frac {1}{3}}-x\,\left({\frac {1}{4}}-x\,\left({\frac {1}{5}}-\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\quad {\rm {for}}\quad \left|x\right|<1.\,\!}$

Để đạt được tốc độ tốt hơn của độ hội tụ, tính đồng nhất sau đây có thể được sử dụng:

${\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {1+y}{1-y}}\right)}$	${\displaystyle =2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}y^{2}+{\frac {1}{5}}y^{4}+{\frac {1}{7}}y^{6}+{\frac {1}{9}}y^{8}+\cdots \right)}$
	${\displaystyle =2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{3}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{5}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{7}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{9}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)}$

với ${\displaystyle y={x-1 \over x+1}}$ và x>0

Cho ln(x) vào x>1, giá trị của x càng gần 1, tốc độ của sự hội tụ càng nhanh. Những sự đồng nhất kết hợp với logarit tự nhiên có thể được đẩy lên để khai thác điều này:

${\displaystyle \ln(123.456)\!}$	${\displaystyle =\ln(1.23456\times 10^{2})\,\!}$
	${\displaystyle =\ln(1.23456)+\ln(10^{2})\,\!}$
	${\displaystyle =\ln(1.23456)+2\times \ln(10)\,\!}$
	${\displaystyle \approx \ln(1.23456)+2\times 2.3025851\,\!}$

Kỹ thuật này đã được sử dụng trước máy tính, bằng cách tham khảo bảng số và thực hiện các thao tác như trên.

Độ chính xác cao

Để tính logarit tự nhiên với nhiều chữ số chính xác, hướng tiếp cận của dãy số Taylor không có hiệu quả vì sự hội tụ rất chậm. Vì vậy, các nhà toán học đã thay thế hướng này và sử dụng phương pháp Newton để đảo ngược hàm mũ để có sự hội tụ của dãy nhanh hơn.

Cách tính khác cho kết quả có độ chính xác khá cao là công thức:

${\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2}$

với M là dãy truy hồi giữa trung bình cộng và trung bình nhân của 1 và 4/s và:

${\displaystyle s=x\,2^{m}>2^{p/2},}$

với m được chọn sao cho p đạt đến sự chính xác. (Đối với hầu hết các kết quả, giá trị 8 của m là đúng.) Trong thực tế, nếu phương pháp này được sử dụng, phép nghịch đảo Newton đối với logarit tự nhiên có thể được tính toán hàm mũ có hiệu quả. (Hằng số ln2 và pi có thể được tính toán trước với độ chính xác mong muốn để sử dụng nhiều dãy số cho trước một cách nhanh chóng.)

Xem thêm

• John Napier - nhà phát minh ra logarit
• Logarit
• hàm số
• số e
• Nicholas Mercator - người đầu tiên sử dụng thuật ngữ lôgarit tự nhiên
• Leonhard Euler

Tham khảo

Liên kết ngoài

• Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained