Phép nhúng (toán học)

Trong toán học, một phép nhúng khái quát hóa ý tưởng về việc đặt một vật thể vào trong một vật thể khác (một cách phù hợp).

Tô pô và hình học

Tô pô đại cương

Trong tô pô đại cương, một phép nhúng là một phép đồng phôi vào ảnh của nó.^[1] Cụ thể hơn, một đơn ánh liên tục ${\displaystyle f:X\to Y}$ giữa các không gian tôpô ${\displaystyle X}$ và ${\displaystyle Y}$ là một phép nhúng tô pô nếu ${\displaystyle f}$ là một đồng phôi giữa ${\displaystyle X}$ và ${\displaystyle f(X)}$ (${\displaystyle f(X)}$ mang cấu trúc tô pô cảm sinh từ ${\displaystyle Y}$). Với một phép nhúng ${\displaystyle f:X\to Y}$, ta có thể coi ${\displaystyle X}$ như một không gian con của ${\displaystyle Y}$.

Tô pô vi phân

Trong tô pô vi phân: Xét ${\displaystyle M}$ và ${\displaystyle N}$ là đa tạp trơn và ${\displaystyle f:M\to N}$ là một ánh xạ trơn. ${\displaystyle f}$ là một phép dìm nếu vi phân của nó là đơn ánh tại mọi điểm. Ta định nghĩa một phép nhúng là một đơn ánh ngâm đồng thời là một phép nhúng tô pô (tức là phép đồng phôi vào ảnh của nó).^[2]

Hình học Riemann

Trong hình học Riemann: Xét (M,g) và (N,h) hai đa tạp Riemann. Một phép nhúng đẳng cự là một phép nhúng trơn (theo nghĩa vi phân) f: M → N bảo toàn metric theo nghĩa g bằng với pull-back của h bởi f, tức là g = f *h. Cụ thể hơn, với mọi vectơ tiếp tuyến ${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$ ta có

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

Tương tự, một phép ngâm đẳng cự là một phép ngâm giữa các đa tạp Riemann bảo tồn các metric Riemann.

Đại số

Nói chung, đối với một phạm trù đại số C, một phép nhúng giữa hai đối tượng X và Y là một C-đơn cấu e: X → Y.

Ghi chú

1. Hocking & Young 1988. Sharpe 1997.
2. Bishop & Crittenden 1964. Bishop & Goldberg 1968. Crampin & Pirani 1994. do Carmo 1994. Flanders 1989. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004. Kobayashi & Nomizu 1963. Kosinski 2007. Lang 1999. Lee 1997. Spivak 1999. Warner 1983.

Tham khảo

• Bishop, Richard Lawrence; Crittenden, Richard J. (1964). Geometry of manifolds. New York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3.
• Bishop, Richard Lawrence; Goldberg, Samuel Irving (1968). Tensor Analysis on Manifolds (ấn bản thứ 1980). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6.
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9.
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. Dover. ISBN 978-0-486-66169-8.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (ấn bản thứ 3). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0.
• Hocking, John Gilbert; Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topology. Dover. ISBN 0-486-65676-4.
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963). Foundations of Differential Geometry, Volume 1. New York: Wiley-Interscience.
• Lee, John Marshall (1997). Riemannian manifolds. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Sharpe, R.W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94732-9..
• Spivak, Michael (1999) [1970]. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1). Publish or Perish. ISBN 0-914098-70-5.
• Warner, Frank Wilson (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90894-3..

Liên kết ngoài

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006). Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats).
• Nhúng đa tạp trên Atlas Manifold