Cơ sở (đại số tuyến tính)

Cùng một vectơ có thể được biểu diễn bởi hai hệ cơ sở khác nhau (các mũi tên tím và mũi tên đỏ).

Cơ sở của không gian vectơ là một hệ vectơ độc lập tuyến tính và sinh ra không gian vectơ đó.[1] Đây là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính. Ta có thể nhận ra ý nghĩa của cơ sở trong không gian vectơ . Không gian này thường được biểu diễn bằng các vectơ hình học trên mặt phẳng. Một cơ sở của nó là hệ gồm hai vectơ đơn vị của hai trục toạ độ: i=(1,0) và j=(0,1). Mọi vectơ của đều có thể phân tích một cách duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của hai vectơ này. Trong không chỉ có một cơ sở, có rất nhiều hệ hai vectơ như thế. Tổng quát cho một không gian vectơ bất kỳ ta có:

Định nghĩa

[sửa | sửa mã nguồn]

Một tập hợp B của các vectơ b1,...,bn trong không gian vectơ V được gọi là cơ sở nếu như

  1. B là một tập hợp độc lập tuyến tính
  2. B là tập hợp sinh của V, nghĩa là span(B) = V

Khi đó (với n hữu hạn) số n được gọi là số chiều của không gian vectơ V.

Khái niệm cơ sở có thể mở rộng cho một tập vô hạn các vectơ , với tập chỉ số I là tập vô hạn. Khi đó V được gọi là không gian vô hạn chiều.

Trong không gian , số vectơ trong cơ sở bằng số chiều của không gian bằng n.

Tính chất

[sửa | sửa mã nguồn]
  1. Hai cơ sở bất kỳ của cùng một không gian V hữu hạn chiều có số phần tử như nhau.
  2. Mọi vectơ v của B biểu diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc cơ sở B.
  3. Hai không gian hữu hạn chiều là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều và mọi đẳng cấu tuyến tính biến một cơ sở thành cơ sở.

Toạ độ trong một cơ sở và công thức đổi cơ sở

[sửa | sửa mã nguồn]

Các hệ số trong biểu diễn này được gọi là toạ độ của vectơ v trong cơ sở B. Chẳng hạn

nếu v =
thì là toạ độ của v trong cơ sở B.

Cho hai cơ sở B={b1,b2,...,bn} và B' ={b' 1,b' 2,...,b' n}. Giả sử vectơ v có toạ độ trong cơ sở BB' tương ứng là . Ngoài ra các vectơ của B biểu diễn qua các vectơ của B' như sau

.

Khi đó v= = = .

Như vậy

được gọi là công thức đổi cơ sở.

Cơ sở chính tắc

[sửa | sửa mã nguồn]

Trong không gian , hệ gồm n vectơ đơn vị:

lập thành một cơ sở gọi là cơ sở chính tắc của .

Ví dụ:

{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} là cơ sở chính tắc của không gian vectơ .

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
  1. ^ Nguyễn Hữu Việt Hưng (2000), Định lý 3.2

Thư mục

[sửa | sửa mã nguồn]
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
Ngoại trừ sự sống và cái chết, mọi thứ đều là phù du
Ngoại trừ sự sống và cái chết, mọi thứ đều là phù du
Bạn có biết điều bất trắc là gì không ? điều bất trắc là một cuộc chia tay đã quá muộn để nói lời tạm biệt
Viết cho những chông chênh tuổi 30
Viết cho những chông chênh tuổi 30
Nếu vẫn ở trong vòng bạn bè với các anh lớn tuổi mà trước đây tôi từng chơi cùng, thì có lẽ giờ tôi vẫn hạnh phúc vì nghĩ mình còn bé lắm
Những nhân vật Genshin Impact miễn phí sẽ phù hợp với đội hình như thế nào?
Những nhân vật Genshin Impact miễn phí sẽ phù hợp với đội hình như thế nào?
Cùng tìm hiểu cách xây dựng đội hình với các nhân vật miễn phí trong Genshin Impact
Những điều thú vị về người anh em Lào
Những điều thú vị về người anh em Lào
Họ không hề vội vã trên đường, ít thấy người Lào cạnh tranh nhau trong kinh doanh, họ cũng không hề đặt nặng mục tiêu phải làm giàu