Giả thuyết Firoozbakht

Hàm khoảng cách số nguyên tố

Trong lý thuyết số, Giả thuyết Firoozbakht ^[1][2]) là giả thuyết về sự phân phối của các số nguyên tố. Nó được đặt tên theo nhà toán học Farideh Firoozbakht người phát biểu nó lần đầu trong 1982.

Giả thuyết phát biểu rằng ${\displaystyle p_{n}^{1/n}}$ (trong đó ${\displaystyle p_{n}}$ là số nguyên tố thứ n) là hàm giảm ngặt của n,

${\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}\qquad {\text{ với mọi }}n\geq 1.}$

hoặc tương đương:

${\displaystyle p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}\qquad {\text{ với mọi }}n\geq 1,}$

xem  A182134,  A246782.

Sử dụng các khoảng cách tối đại, Farideh Firoozbakht đã kiểm chứng giả thuyết của bà cho tới 4.444×10¹².^[2] Nhờ mở rộng đáng kể bảng các khoảng cách tối đại, giả thuyết được kiểm chứng cho tất cả số nguyên tố nằm dưới 2⁶⁴ ≈ 184×10¹⁹.^[3][4]

Nếu giả thuyết đúng, thì hàm khoảng cách số nguyên tố ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ sẽ thỏa mãn:^[5]

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}\qquad {\text{ với mọi }}n>4.}$

Hơn nữa:^[6]

${\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1\qquad {\text{ với mọi }}n>9,}$

xem thêm  A111943. Đây làm một trong những cận trên mạnh nhất cho khoảng cách số nguyên tố, đôi khi còn mạnh hơn cả giả thuyết của Cramér và Shanks.^[4] Nó suy ra dạng mạnh hơn của giả thuyết Cramér và do đó không nhất quán với heuristic của Granville và Pintz^[7][8][9] và của Maier^[10][11] rằng

${\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}\approx 1.1229(\log p_{n})^{2},}$

xuất hiện vô số lần với bất kỳ ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ trong đó ${\displaystyle \gamma }$ là hằng số Euler–Mascheroni.

Có hai giả thuyết có liên quan sau (xem bình luận dưới  A182514) là

${\displaystyle \left({\frac {\log(p_{n+1})}{\log(p_{n})}}\right)^{n}<e,}$

là dạng yếu hơn, và

${\displaystyle \left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log(n)\qquad {\text{ với mọi }}n>5,}$

là dạng mạnh hơn.

Xem thêm

• Định lý số nguyên tố
• Giả thuyết Andrica
• Giả thuyết Legendre
• Giả thuyết Oppermann
• Giả thuyết Cramér

Chú thích

1. Ribenboim, Paulo (2004). The Little Book of Bigger Primes Second Edition. Springer-Verlag. tr. 185. ISBN 9780387201696.
2. ^ Rivera, Carlos. “Conjecture 30. The Firoozbakht Conjecture”. Truy cập ngày 22 tháng 8 năm 2012.
3. Gaps between consecutive primes
4. ^ Kourbatov, Alexei. “Prime Gaps: Firoozbakht Conjecture”.
5. Sinha, Nilotpal Kanti (2010). "On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture". arΧiv:1010.1399 [math.NT]. .
6. Kourbatov, Alexei (2015), “Upper bounds for prime gaps related to Firoozbakht's conjecture”, Journal of Integer Sequences, 18 (Article 15.11.2), arXiv:1506.03042, MR 3436186, Zbl 1390.11105.
7. Granville, A. (1995), “Harald Cramér and the distribution of prime numbers” (PDF), Scandinavian Actuarial Journal, 1: 12–28, doi:10.1080/03461238.1995.10413946, MR 1349149, Zbl 0833.01018, Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 2 tháng 5 năm 2016.
8. Granville, Andrew (1995), “Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers” (PDF), Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1: 388–399, doi:10.1007/978-3-0348-9078-6_32, ISBN 978-3-0348-9897-3, Zbl 0843.11043.
9. Pintz, János (2007), “Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes”, Funct. Approx. Comment. Math., 37 (2): 232–471, doi:10.7169/facm/1229619660, MR 2363833, S2CID 120236707, Zbl 1226.11096
10. Leonard Adleman and Kevin McCurley, "Open Problems in Number Theoretic Complexity, II^{[liên kết hỏng]}" (PS), Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), Lecture Notes in Comput. Sci. 877: 291–322, Springer, Berlin, 1994. doi:10.1007/3-540-58691-1_70. ISBN 978-3-540-58691-3.
11. Maier, Helmut (1985), “Primes in short intervals”, The Michigan Mathematical Journal, 32 (2): 221–225, doi:10.1307/mmj/1029003189, ISSN 0026-2285, MR 0783576, Zbl 0569.10023

Tham khảo

• Ribenboim, Paulo (2004). The Little Book of Bigger Primes Second Edition. Springer-Verlag. ISBN 0-387-20169-6.
• Riesel, Hans (1985). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition. Birkhauser. ISBN 3-7643-3291-3.