Định luật Gauss

Bài viết về
Điện từ học
Điện Từ học Lịch sử Giáo trình
Tĩnh điện Chất cách điện Chất dẫn điện Cảm ứng tĩnh điện Điện ma sát Điện thông Điện thế Điện trường Điện tích Định luật Coulomb Định luật Gauss Độ điện thẩm Mômen lưỡng cực điện Mật độ phân cực Mật độ điện tích Phóng tĩnh điện Thế năng điện
Tĩnh từ Định luật Ampère Định luật Biot–Savart Định luật Gauss cho từ trường Độ từ thẩm Lực từ động Mômen lưỡng cực từ Quy tắc bàn tay phải Từ hóa Từ thông Từ thế vectơ Từ thế vô hướng Từ trường
Điện động Bức xạ điện từ Cảm ứng điện từ Dòng điện Foucault Dòng điện dịch chuyển Định luật Faraday Định luật Lenz Lực Lorentz Mô tả toán học của trường điện từ Phương trình Jefimenko Phương trình London Phương trình Maxwell Tenxơ ứng suất Maxwell Thế Liénard–Wiechert Trường điện từ Vectơ Poynting Xung điện từ
Mạch điện Bộ cộng hưởng Dòng điện Dòng điện một chiều Dòng điện xoay chiều Điện dung Điện phân Điện trở Định luật Ohm Gia nhiệt Joule Hiện tượng tự cảm Hiệu điện thế Lực điện động Mạch nối tiếp Mạch song song Mật độ dòng điện Ống dẫn sóng điện từ Trở kháng
Phát biểu hiệp phương sai Tenxơ điện từ (tenxơ ứng suất–năng lượng) Dòng bốn chiều Thế điện từ bốn chiều
Các nhà khoa học Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Singer Tesla Volta Weber
x t s

Trong vật lý và giải tích toán học, định luật Gauss là một ứng dụng của định lý Gauss cho các trường véctơ tuân theo luật bình phương nghịch đảo với khoảng cách.

Ví dụ, với trường vectơ cường độ điện trường hay lực hấp dẫn, định luật này đưa ra mối liên hệ giữa thông lượng của hai trường véc tơ này đi qua một mặt đóng với điện tích hay khối lượng bị bao phủ bởi mặt. Đối với trường hợp của điện trường, định luật này cũng là một trong bốn phương trình là nền tảng cho lý thuyết điện từ trường.

Định luật Gauss

Định luật Gauss về Điện trường

Dưới dạng tích phân, Mật độ Điện trường được viết như sau

${\displaystyle \Phi =EA=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={1 \over \epsilon _{o}}\int _{V}\rho \ dV={\frac {Q_{A}}{\epsilon _{o}}}}$

Với

${\displaystyle \Phi }$ là thông lượng điện,

${\displaystyle \mathbf {E} }$ là điện trường,

${\displaystyle d\mathbf {A} }$ là diện tích của một hình vuông vi phân trên mặt đóng S,

${\displaystyle Q_{\mathrm {A} }}$ là điện tích được bao bởi mặt đó,

${\displaystyle \rho }$ là mật độ điện tích tại một điểm trong ${\displaystyle V}$,

${\displaystyle \epsilon _{o}}$ là hằng số điện của không gian tự do

${\displaystyle \oint _{S}}$ là tích phân trên mặt S bao phủ thể tích V.

Xem thêm thông tin và cách áp dụng định luật Gauss ở mặt Gaussian.

Dưới dạng vi phân, phương trình trở thành:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$

Với

${\displaystyle \nabla }$ là toán tử div,

D là cảm ứng điện trường (đơn vị C/m²),

ρ là mật độ điện tích (đơn vị C/m³), không tính đến các điện tích lưỡng cực biên giới trong vật chất. Dạng vi phân được viết dưới dạng định lý Gauss.

Đối với vật chất tuyến tính, phương trình trở thành:

${\displaystyle \nabla \cdot \epsilon \mathbf {E} =\rho }$

với ${\displaystyle \epsilon }$ là hằng số điện môi.

Định luật Gauss về Từ trường

Dưới dạng tích phân

${\displaystyle \Phi _{B}=BA=\int BdA=\mu I}$

Trọng trường

Bởi vì cả trọng lực và điện từ trường có cường độ lan toả tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa hai vật thể, chúng ta có thể liên hệ hai thứ đó sử dụng định luật Gauss bằng cách xem xét trường vectơ tương ứng của chúng ${\displaystyle \mathbf {G} }$ và ${\displaystyle \mathbf {E} }$, với

${\displaystyle \mathbf {G} =-G_{c}{\frac {m}{r^{2}}}{\hat {r}}}$,

và

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {r}}}$,

với ${\displaystyle G_{c}}$ là hằng số trọng lực, ${\displaystyle m}$ là khối lượng của điểm nguồn, ${\displaystyle r}$ là bán kính (khoảng cách) giữa điểm nguồn đến vật thể khác, ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ là hằng số điện môi của không gian tự do, và ${\displaystyle q}$ là điện tích của điểm nguồn.

Trong một cách tương tự chúng ta tính tích phân mặt cho điện từ trường để có được ${\displaystyle {\frac {q}{\epsilon _{0}}}}$, chúng ta có thể chọn một mặt Gauss thích hợp để tìm câu trả lời cho thông lượng trọng lực. Với một điểm có khối lượng đặt tại gốc của trục tọa độ, chọn lựa hợp lý nhất cho mặt Gauss là hình cầu có bán kính ${\displaystyle r}$ với tâm là gốc tọa độ.

Chúng ta bắt đầu với dạng tích phân của định luật Gauss

${\displaystyle \Phi _{G}=\oint _{S}\mathbf {G} \cdot d\mathbf {A} }$.

Một phần tử diện tích cực nhỏ chỉ đơn giản là diện tích của một góc đầy cực nhỏ, được định nghĩa như là

${\displaystyle d\mathbf {A} =r^{2}d\Omega {\hat {r}}}$.

Mặt Gaussian được chọn sao cho vectơ vuông góc với mặt đó là vectơ bán kính xuất phát từ gốc tọa độ. Với

${\displaystyle \Phi _{G}=\oint _{S}G(r){\hat {r}}\cdot {\hat {r}}r^{2}d\Omega }$,

chúng ta thấy tích vô hướng của hai vec tơ bán kính là đơn vị và cả cường độ của trường, ${\displaystyle \mathbf {G} }$, và bình phương của khoảng cách giữa mặt và điểm đang xét, ${\displaystyle r^{2}}$, là không đổi trên mọi phần tử cực nhỏ của mặt đó. Điều này cho ta tích phân

${\displaystyle \Phi _{G}=G(r)r^{2}\oint _{S}d\Omega }$.

Tích phân mặt còn lại chỉ là diện tích bề mặt cầu (${\displaystyle 4\pi r^{2}}$). Nếu chúng ta gộp điều này với phương trình trường trọng lực bên trên, ta có biểu thức về thông lượng trọng lực của một điểm có khối lượng.

${\displaystyle \Phi _{G}=-{\frac {G_{c}m}{r^{2}}}4\pi r^{2}=-4\pi G_{c}m}$

Thông lượng trọng lực, cũng giống như là điện từ, không phụ thuộc vào bán kính của mặt cầu.

Cường độ điện trường

Cường độ Điện trường

${\displaystyle E={\frac {D}{\epsilon }}={\frac {Q}{\epsilon A}}}$

Một điện tích Q đặt ở tâm một mặt cầu bán kính r, vector cường độ điện trường trên bề mặt cầu vuông góc với bề mặt, cùng cường độ ở mọi điểm trên mặt cầu đó, có dạng:

${\displaystyle E={\frac {Q}{\epsilon A}}={\frac {Q}{\epsilon _{0}4\pi r^{2}}}}$

Với

E là cường độ điện trường tại bán kính r,

Q là điện tích bao quanh

ε₀ là hằng số điện.

Do đó sự phụ thuộc theo luật bình phương nghịch đảo quen thuộc trong định luật Coulomb đi theo từ định luật Gauss.

Định luật Gauss có thể được sử dụng để chứng tỏ rằng không có điện trường bên trong một lồng Faraday không có điện tích nào. Định luật Gauss là tương đương về mặt tĩnh điện với định luật Ampère, phát biểu liên quan đến từ tính. Cả hai phương trình sau này được hợp nhất vào các phương trình Maxwell.

Nó được công thức hóa bởi Carl Friedrich Gauss vào năm 1835, nhưng không công bố cho đến năm 1867. Bởi vì sự tương tự về mặt toán học, định luật Gauss có ứng dụng vào các đại lượng vật lý khác tuân theo một luật bình phương nghịch đảo như trọng lực hay cường độ của bức xạ. Xem thêm định lý Gauss.

Cường độ Từ trường

Cường độ Từ trường

${\displaystyle B={\frac {\mu }{A}}I=LI}$

Cường độ Từ trường của cộng dây thẳng dẩn điện

${\displaystyle B=LI={\frac {\mu }{A}}I={\frac {2\pi r}{A}}I}$

Cường độ Từ trường của vòng tròn thẳng dẩn điện

${\displaystyle B=LI={\frac {\mu }{A}}I={\frac {2\pi }{A}}I}$

Cường độ Từ trường của N vòng tròn thẳng dẩn điện

${\displaystyle B=LI={\frac {\mu }{A}}I=N{\frac {\mu }{A}}I}$

Xem thêm

• Định lý Gauss
• Mặt Gauss
• Phương trình Maxwell
• Carl Friedrich Gauss
• Thông lượng
• Phương pháp ảnh điện

Tham khảo

Liên kết ngoài

• MISN-0-132 Gauss's Law for Spherical Symmetry (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
• MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.