Tích phân mặt

Một phần của loạt bài về
Vi tích phân
Định lý cơ bản Quy tắc tích phân Leibniz Giới hạn của hàm số Tính liên tục Định lý giá trị trung bình Định lý Rolle
Vi phân Định nghĩa Đạo hàm (Tổng quát) Vi phân vô cùng bé hàm số toàn phần Khái niệm Ký hiệu vi phân Đạo hàm bậc hai Vi phân ẩn Định lý Taylor Quy tắc và đẳng thức Cộng Nhân Dây chuyền Lũy thừa Chia Quy tắc l'Hôpital Hàm ngược Leibniz tổng quát Công thức Faà di Bruno
Tích phân Danh sách tích phân Biến đổi tích phân Định nghĩa Nguyên hàm Tích phân (suy rộng) Tích phân Riemann Tích phân Lebesgue Tích phân theo chu tuyến Tích phân của hàm ngược Kỹ thuật Từng phần Đĩa Vỏ Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler) Công thức Euler Đổi trật tự Công thức truy hồi Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân
Chuỗi Hình học (số học-hình học) Điều hòa Đan dấu Lũy thừa Nhị thức Taylor Tiêu chuẩn hội tụ Số hạng d'Alembert Cauchy Tích phân So sánh So sánh giới hạn Chuỗi đan dấu Cô đọng Cauchy Dirichlet Abel
Vectơ Gradien Div Rot Laplace Đạo hàm có hướng Đẳng thức Định lý Gauss Gradient Green Kelvin–Stokes Stokes
Nhiều biến Chủ đề Ma trận Tenxơ Đạo hàm ngoài Hình học Định nghĩa Đạo hàm riêng Tích phân bội Tích phân đường Tích phân mặt Tích phân thể tích Ma trận Jacobi Ma trận Hesse
Chuyên ngành Malliavin Ngẫu nhiên Phép tính biến phân
Thuật ngữ Thuật ngữ giải tích
x t s

Trong toán học, tích phân mặt là một tích phân xác định được tính trên một bề mặt (có thể là tập hợp các đường cong trong không gian); nó có thể được xem là một tích phân kép của từng tích phân đường. Trên một bề mặt cho trước, phép tính tích phân này có thể tính cho các trường vô hướng của nó (đó là các hàm trả về các giá trị số), và trường vector (các hàm trả về giá trị vectơ).

Các tích phân mặt có nhiều ứng dụng trong vật lý, đặc biệt trong học thuyết cổ điển của điện từ.

Định nghĩa tích phân mặt dựa trên việc chia mặt phẳng thành các phần tử nhỏ.

Minh họa phần tử bề mặt riêng lẻ. Các phần tử này được chia ra rất nhỏ bằng phương pháp giới hạn, do đó nó gần giống với một bề mặt.

Cách tính tích phân mặt loại 1

Để tính toán cụ thể một tích phân mặt, chúng ta cần tham số hóa S bằng cách biểu diễn S trong một hệ tọa độ cong, giống như là kinh độ và vĩ độ trên một mặt cầu. Hãy gọi một tham số hóa đó là x(s, t), với (s, t) thay đổi trong một miền T trong một mặt phẳng. Khi đó, tích phân mặt sẽ được cho bởi công thức sau

${\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt}$

Biểu thức giữa 2 đường vạch thẳng là độ lớn của tích vectơ của các đạo hàm riêng của x(s, t), và được biết như là đơn vị bề mặt.

Ví dụ như, nếu như chúng ta muốn tìm diện tích bề mặt của một bề mặt nào đó, ví dụ ${\displaystyle z=f\,(x,y)}$, ta có

${\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|dx\,dy}$

với ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}$. Do đó ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$, và ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$. Do vậy,

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}$

và đó là công thức quen thuộc để đi tìm diện tích của một bề mặt nào đó.

Chú ý là do sự hiện diện của tích vec tơ, các công thức trên chỉ có giá trị khi các bề mặt được đặt trong không gian 3 chiều.

còn có tích phân mặt loại 2

Tham khảo

Liên kết ngoài

• Tích phân mặt -- tại MathWorld
• Tích phân mặt -- Lý thuyết và bài tập