Định lý Gauss

Một phần của loạt bài về
Vi tích phân
Định lý cơ bản Quy tắc tích phân Leibniz Giới hạn của hàm số Tính liên tục Định lý giá trị trung bình Định lý Rolle
Vi phân Định nghĩa Đạo hàm (Tổng quát) Vi phân vô cùng bé hàm số toàn phần Khái niệm Ký hiệu vi phân Đạo hàm bậc hai Vi phân ẩn Định lý Taylor Quy tắc và đẳng thức Cộng Nhân Dây chuyền Lũy thừa Chia Quy tắc l'Hôpital Hàm ngược Leibniz tổng quát Công thức Faà di Bruno
Tích phân Danh sách tích phân Biến đổi tích phân Định nghĩa Nguyên hàm Tích phân (suy rộng) Tích phân Riemann Tích phân Lebesgue Tích phân theo chu tuyến Tích phân của hàm ngược Kỹ thuật Từng phần Đĩa Vỏ Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler) Công thức Euler Đổi trật tự Công thức truy hồi Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân
Chuỗi Hình học (số học-hình học) Điều hòa Đan dấu Lũy thừa Nhị thức Taylor Tiêu chuẩn hội tụ Số hạng d'Alembert Cauchy Tích phân So sánh So sánh giới hạn Chuỗi đan dấu Cô đọng Cauchy Dirichlet Abel
Vectơ Gradien Div Rot Laplace Đạo hàm có hướng Đẳng thức Định lý Gauss Gradient Green Kelvin–Stokes Stokes
Nhiều biến Chủ đề Ma trận Tenxơ Đạo hàm ngoài Hình học Định nghĩa Đạo hàm riêng Tích phân bội Tích phân đường Tích phân mặt Tích phân thể tích Ma trận Jacobi Ma trận Hesse
Chuyên ngành Malliavin Ngẫu nhiên Phép tính biến phân
Thuật ngữ Thuật ngữ giải tích
x t s

Định lý Gauss, hay còn gọi là định lý phân kỳ, hay định lý Ostrogradsky, hay định lý Gauss-Ostrogradsky (do hai nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauß và người Nga Mikhail Vasilyevich Ostrogradsky nghiên cứu) là kết quả nói lên sự liên quan của dòng chảy (nghĩa là thông lượng) của một trường vectơ thông qua một mặt với hành vi của trường vectơ đó bên trong mặt đó.

Phát biểu định lý

Miền V được bao quanh bằng một mặt S=∂V với chuẩn của mặt là n.

giả sử V là tập con của Rⁿ (nghĩ đến n = 3) làm một mặt compact và có biên là một hàm trơn gián đoạn. Nếu F là một trường vectơ khả vi liên tục được định nghĩa trên một vùng xung quanh V, thì ta có

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right){\mbox{d}}V=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot {\mbox{d}}\mathbf {S} ,}$

vế trái thường được viết như là tích phân thể tích bên trong một quả cầu mà mặt cầu S of được dùng trong tích phân mặt của cùng một thể tích ở phía bên phải

${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} {\vec {F}}\;\mathrm {d} V=\oint _{S}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}}$

(với ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}={\vec {n}}\;\mathrm {d} S}$).

với ∂V là biên của V định hướng bằng vecto mặt chuẩn đơn vị hướng ra ngoài, và dS là viết tắt cho ndS, vecto chuẩn hướng hướng ra ngoài của biên ∂V.

Vế trái biểu diễn tổng các nguồn trong thể tích V, và vế phải biểu diễn tổng các dòng chảy qua biên ∂V.

Định lý thường được áp dụng với dạng khác như sau (xem thêm các hằng đẳng thức vectơ):

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right){\mbox{d}}V=\iint \limits _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot {\mbox{d}}\mathbf {S} }$

(this is the basis for Green's identities, if ${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}$),

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla g{\mbox{d}}V=\iint \limits _{\partial V}g{\mbox{d}}\mathbf {S} ,}$

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right){\mbox{d}}V=\iint \limits _{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot {\mbox{d}}\mathbf {S} ,}$

${\displaystyle \iiint \limits _{V}\nabla \times \mathbf {F} {\mbox{d}}V=\iint \limits _{\partial V}{\mbox{d}}\mathbf {S} \times \mathbf {F} .}$

Chú ý là định lý tiêu tán chỉ là một trường hợp của định lý Stokes tổng quát hơn, một định lý tổng quát hóa của định lý cơ sở của vi tích phân.

Tham khảo