Tổng trực tiếp của nhóm

Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm Lý thuyết nhóm
Thuật ngữ cơ bản Nhóm con Nhóm con chuẩn tắc Nhóm thương Tích trực tiếp Tích nửa trực tiếp Đồng cấu nhóm hạt nhân ảnh tổng trực tiếp tích bện đơn hữu hạn vô hạn liên tục nhân cộng tính cyclic giao hoán nhị diện lũy linh giải được tác động Từ vựng dùng trong lý thuyết nhóm Danh sách các chủ đề trong lý thuyết nhóm
Nhóm hữu hạn Phân loại nhóm đơn hữu hạn cyclic thay phiên dạng Lie sporadic định lý Cauchy định lý Lagrange Định lý Sylow Định lý Hall p-nhóm Nhóm abel sơ cấp Nhóm Frobenius Nhân tử Schur Nhóm Mathieu M11 M12 M22 M23 M24 Nhóm Conway Co1 Co2 Co3 Nhóm Janko J1 J2 J3 J4 Nhóm Fischer F22 F23 F24 nhóm đối xứng Sn Nhóm bốn Klein V Nhóm nhị diện Dn Nhóm Quaternion Q Nhóm Dicyclic Dicn
Nhóm rời rạc Lưới Số nguyên (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Nhóm tự do Nhóm mô đun PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Nhóm số học Lưới Nhóm hyperbolic
Tô pô và nhóm Lie Solenoid Đường tròn Tuyến tính tổng quát GL(n) Tuyến tính đặc biệt SL(n) Trực giao O(n) Euclid E(n) Trực giao đặc biệt SO(n) Unita U(n) Unita đặc biệt SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Bảo giác Vi đồng phôi Vòng Nhóm Lie vô hạn chiều O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Nhóm đại số Nhóm đại số tuyến tính Nhóm khả quy Đa tạp giao hoán Đường cong elliptic
x t s

Trong toán học, nhóm G được gọi là tổng trực tiếp^[1][2][3] của hai nhóm con chuẩn tắc với giao tầm thường nếu nó được sinh bởi hai nhóm con đó. Trong Đại số trừu tượng, phương pháp xây dựng nhóm này có thể tổng quát hóa sang tổng trực tiếp của không gian vectơ, mô đun, và các cấu trúc khác. Một nhóm có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp của các nhóm con không tầm thường được gọi là phân tích được.

Định nghĩa

Một nhóm G được gọi là tổng trực tiếp của hai nhóm con H₁ và H₂ nếu

• Mỗi H₁ và H₂ là nhóm con chuẩn tắc của G,

• Giao của hai nhóm con H₁ và H₂ là nhóm tầm thường (có duy nhất phần tử đơn vị ${\displaystyle e}$ của G),

• G = <H₁, H₂>, G được sinh bởi hai nhóm H₁ và H₂.

Tổng quát hơn, G gọi là tổng trực tiếp của tập chứa hữu hạn các nhóm con {H_i} nếu

• Mỗi H_i là nhóm con chuẩn tắc của G,

• Mỗi H_i có giao tầm thường với nhóm con <{H_j: j ≠ i>,

• G = <{H_i}>, G được sinh bởi các nhóm con {H_i}'.

Nếu G là tổng trực tiếp của 2 nhóm con H và K thì ta viết G = H + K và nếu G là tổng trực tiếp của tập nhóm con {H_i} thì ta thường viết G = ∑H_i. Thường thì tổng trực tiếp đẳng cấu với tích trực tiếp yếu của các nhóm con.

Tính chất

Nếu G = H + K, thì ta có thể chứng minh được

• Với mọi h thuộc H, k thuộc K, ta có h * k = k * h,

• Với mọi g thuộc G, tồn tại duy nhất h thuộc H, k thuộc K sao cho g = h * k,

• Có khử tổng trong nhóm thương, nghĩa là (H+K)/K đẳng cấu với H.

Tham khảo

1. Homology. Saunders MacLane. Springer, Berlin; Academic Press, New York, 1963.
2. László Fuchs. Infinite Abelian Groups
3. Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 89