Tổng trực tiếp của nhóm

Trong toán học, nhóm G được gọi là tổng trực tiếp[1][2][3] của hai nhóm con chuẩn tắc với giao tầm thường nếu nó được sinh bởi hai nhóm con đó. Trong Đại số trừu tượng, phương pháp xây dựng nhóm này có thể tổng quát hóa sang tổng trực tiếp của không gian vectơ, mô đun, và các cấu trúc khác. Một nhóm có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp của các nhóm con không tầm thường được gọi là phân tích được.

Định nghĩa

[sửa | sửa mã nguồn]

Một nhóm G được gọi là tổng trực tiếp của hai nhóm con H1H2 nếu

  • Mỗi H1H2 là nhóm con chuẩn tắc của G,
  • Giao của hai nhóm con H1H2 là nhóm tầm thường (có duy nhất phần tử đơn vị của G),
  • G = <H1, H2>, G được sinh bởi hai nhóm H1H2.

Tổng quát hơn, G gọi là tổng trực tiếp của tập chứa hữu hạn các nhóm con {Hi} nếu

  • Mỗi Hi là nhóm con chuẩn tắc của G,
  • Mỗi Hi có giao tầm thường với nhóm con <{Hj: j ≠ i>,
  • G = <{Hi}>, G được sinh bởi các nhóm con {Hi}'.

Nếu G là tổng trực tiếp của 2 nhóm con HK thì ta viết G = H + K và nếu G là tổng trực tiếp của tập nhóm con {Hi} thì ta thường viết G = ∑Hi. Thường thì tổng trực tiếp đẳng cấu với tích trực tiếp yếu của các nhóm con.

Tính chất

[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu G = H + K, thì ta có thể chứng minh được

  • Với mọi h thuộc H, k thuộc K, ta có h * k = k * h,
  • Với mọi g thuộc G, tồn tại duy nhất h thuộc H, k thuộc K sao cho g = h * k,
  • Có khử tổng trong nhóm thương, nghĩa là (H+K)/K đẳng cấu với H.

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
  1. ^ Homology. Saunders MacLane. Springer, Berlin; Academic Press, New York, 1963.
  2. ^ László Fuchs. Infinite Abelian Groups
  3. ^ Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 89
Chúng tôi bán
Bài viết liên quan
[Genshin Impact] Ý nghĩa phù lục trên người QiQi
[Genshin Impact] Ý nghĩa phù lục trên người QiQi
Đạo Giáo đại thái được chia thành hai trường phái lớn là: Phù lục và Đan đỉnh
Những nhân vật Black Myth sẽ khai thác tiếp sau Wukong
Những nhân vật Black Myth sẽ khai thác tiếp sau Wukong
Sau Wukong, series Black Myth sẽ khai thác tiếp Thiện Nữ U Hồn, Phong Thần Bảng, Khu Ma Đế Chân Nhân, Sơn Hải Kinh, Liêu Trai Chí Dị…
Tại sao người trẻ càng ngày càng không thích về quê ăn Tết?
Tại sao người trẻ càng ngày càng không thích về quê ăn Tết?
Trước đây, ngày Tết trong tưởng tượng của mình là cô dì chú bác đến thăm, hỏi han quan tâm đủ kiểu, bố mẹ thì thương yêu
Giải thích về cái kết của Tensura (phiên bản WEB NOVEL)
Giải thích về cái kết của Tensura (phiên bản WEB NOVEL)
Thấy có rất nhiều bạn chưa kiểu được cái kết của WN, thế nên hôm nay mình sẽ giải thích kĩ để giúp các bạn hiểu rõ hơn về vấn đề này nhé