Tổng trực tiếp của nhóm

Trong toán học, nhóm G được gọi là tổng trực tiếp^[1][2][3] của hai nhóm con chuẩn tắc với giao tầm thường nếu nó được sinh bởi hai nhóm con đó. Trong Đại số trừu tượng, phương pháp xây dựng nhóm này có thể tổng quát hóa sang tổng trực tiếp của không gian vectơ, mô đun, và các cấu trúc khác. Một nhóm có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp của các nhóm con không tầm thường được gọi là phân tích được.

Định nghĩa

Một nhóm G được gọi là tổng trực tiếp của hai nhóm con H₁ và H₂ nếu

• Mỗi H₁ và H₂ là nhóm con chuẩn tắc của G,

• Giao của hai nhóm con H₁ và H₂ là nhóm tầm thường (có duy nhất phần tử đơn vị ${\displaystyle e}$ của G),

• G = <H₁, H₂>, G được sinh bởi hai nhóm H₁ và H₂.

Tổng quát hơn, G gọi là tổng trực tiếp của tập chứa hữu hạn các nhóm con {H_i} nếu

• Mỗi H_i là nhóm con chuẩn tắc của G,

• Mỗi H_i có giao tầm thường với nhóm con <{H_j: j ≠ i>,

• G = <{H_i}>, G được sinh bởi các nhóm con {H_i}'.

Nếu G là tổng trực tiếp của 2 nhóm con H và K thì ta viết G = H + K và nếu G là tổng trực tiếp của tập nhóm con {H_i} thì ta thường viết G = ∑H_i. Thường thì tổng trực tiếp đẳng cấu với tích trực tiếp yếu của các nhóm con.

Tính chất

Nếu G = H + K, thì ta có thể chứng minh được

• Với mọi h thuộc H, k thuộc K, ta có h * k = k * h,

• Với mọi g thuộc G, tồn tại duy nhất h thuộc H, k thuộc K sao cho g = h * k,

• Có khử tổng trong nhóm thương, nghĩa là (H+K)/K đẳng cấu với H.

Tham khảo

1. Homology. Saunders MacLane. Springer, Berlin; Academic Press, New York, 1963.
2. László Fuchs. Infinite Abelian Groups
3. Nguyễn Tiến Quang (2008), tr. 89