Toàn ánh

Hàm số
x ↦ f (x)
Ví dụ theo miền xác định và miền giá trị
X → B, B → X, B^n → B X → Z, Z → X X → R, R → X, R^n → X X → C, C → X, C^n → X
Loại/tính chất
Hằng · Đồng nhất · Tuyến tính · Đa thức · Hữu tỉ · Đại số · Giải tích · Trơn · Liên tục · Đo được · Đơn ánh · Toàn ánh · Song ánh
Xây dựng
Thu hẹp · Hợp · λ · Ngược
Tổng quát
Bộ phận · Nhiều giá trị · Ẩn
x t s

Hàm số ${\displaystyle f}$ từ tập hợp ${\displaystyle X}$ đến tập hợp ${\displaystyle Y}$ được gọi là toàn ánh nếu như với mọi phần tử ${\displaystyle y}$ thuộc ${\displaystyle Y}$ ta luôn tìm được ít nhất một phần tử ${\displaystyle x}$ thuộc ${\displaystyle X}$ sao cho ${\displaystyle f(x)=y}$. Theo ngôn ngữ ánh xạ thì điều kiện này nghĩa là mỗi phần tử ${\displaystyle y}$ thuộc ${\displaystyle Y}$ đều là ảnh của ít nhất một phần tử ${\displaystyle x}$ thuộc ${\displaystyle X}$ qua ánh xạ ${\displaystyle f}$.

Dưới dạng công thức toán học, hàm số ${\displaystyle f}$ là toàn ánh khi và chỉ khi

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X:f(x)=y}$

hay nói cách khác ${\displaystyle {\mathit {f(X)=Y}}\,\!}$.

Một cách trực quan, điều kiện trên tương đương với việc đồ thị hàm ${\displaystyle f(x)=y}$ cắt đường thẳng ${\displaystyle y=y_{0}}$ tại mọi ${\displaystyle y_{0}\in Y}$.

Tham khảo