Tập hợp đếm được

Tập hợp đếm được (hay tập hợp có lực lượng đếm được) trong toán học được định nghĩa là tập hợp có thể thiết lập một đơn ánh vào tập hợp số tự nhiên. Điều này nghĩa là tập hợp này có cùng lực lượng với một tập con nào đó của tập các số tự nhiên.

Các tập hợp không phải là tập đếm được được gọi là tập hợp không đếm được.

Khái niệm này được nhà toán học Georg Cantor đưa ra.

Một số tác giả thu hẹp định nghĩa tập đếm được là các tập mà tồn tại song ánh từ chúng tới tập hợp các số tự nhiên (tức là có cùng lực lượng với lực lượng của các số tự nhiên). Định nghĩa hẹp này loại bỏ những tập có số lượng hữu hạn các phần tử khỏi khái niệm đếm được.

Ví dụ

Theo định nghĩa rộng, các tập hữu hạn như

A = {a, b, c}

B = {1, 2}

là các tập đếm được. Các tập vô hạn như tập các số tự nhiên, tập các số hữu tỷ, tập tất cả các tập con hữu hạn của tập các số tự nhiên,... đều là các tập đếm được.

Những tập như tập số thực, tập tất cả các tập con của tập các số tự nhiên (tức tập lũy thừa của tập các số tự nhiên),... không phải là các tập đếm được.

Tính chất

Theo định nghĩa rộng, tập hợp đếm được có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Tất cả mọi tập đếm được và có vô hạn phần tử đều có cùng lực lượng với tập các số tự nhiên; còn các tập đếm được hữu hạn đều có lực lượng là một số tự nhiên nào đó (bao gồm số 0).

Mọi tập con của tập đếm được là đếm được. Mọi tập con vô hạn của tập đếm được vô hạn cũng là tập đếm được vô hạn (và do đó có cùng lực lượng với tập mẹ). Tích Descartes của hữu hạn các tập đếm được là một tập đếm được.

Khảo sát tính đếm được của một số tập hợp

Tập hợp số tự nhiên

Các số tự nhiên dùng để đếm (một quả táo, hai quả táo, ba quả táo....).

Tập hợp số tự nhiên và các tập con của nó đếm được, vì tập hợp này tương đương với chính nó (xét dãy logic: đồng nhất ánh - song ánh - đơn ánh - đếm được).

Tập hợp số nguyên

Số nguyên âm -1

Tập hợp số nguyên đếm được.

Chứng minh

Xét ánh xạ sau:

f: Z → N

f(z) = 2z, nếu z ≥ 0

f(z) = 2|z| - 1, nếu z < 0.

f là song ánh. Điều đó chứng tỏ Z và N có cùng lực lượng.

Tập hợp số hữu tỉ

Số hữu tỷ 1/4

Tập hợp số hữu tỉ đếm được.

Chứng minh

Thật vậy, mỗi số hữu tỉ có thể biểu diễn duy nhất bởi m⁄n là phân số tối giản, với m là số nguyên và n là số nguyên dương. Xét ánh xạ từ tập hợp Q (tập các số hữu tỉ) lên tích Descartes Z × Z\{0}:

f: Q → Z × Z\{0}

${\displaystyle \textstyle f\left({\frac {m}{n}}\right)=(m,n)}$

ánh xạ này là đơn ánh, điều đó chứng tỏ Q là tập hợp con của tập Z × Z\{0}, và do đó có lực lượng đếm được.

Tập hợp số thực

Bài chi tiết: Lập luận đường chéo của Cantor

Tập hợp số thực không đếm được.

Chứng minh

Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:

Cho A là tập hợp các số thực trong khoảng (0,1); ta chứng minh tập hợp A không đếm được.

Chứng minh phản chứng. Giả sử A đếm được, khi đó tồn tại song ánh: f: A → N.

Xét số thực r thuộc A.

Ký hiệu r_i là chữ số thứ i của r sau dấu phẩy (trong hệ thập phân). Như vậy r = 0,r₁,r₂,r₃...,r_i....

Ta xây dựng r bằng cách đưa ra quy tắc tính từng chữ số trong biểu diễn thập phân của r:

Tính r_i

Ký hiệu f ^-1(i) là tạo ảnh của i. Tức là f (f ^-1(i)) = i,

r_i = 9 - Chữ số thứ i của f ^-1(i).

Do r thuộc A, nên tồn tại n thuộc N sao cho: f(r) = n.

Theo quy tắc trên thì: r_n = 9 - r_n, suy ra 2r_n = 9 (vô lý vì 9 là số lẻ).

Vậy điều giả sử là sai, suy ra tập A không đếm được. Bổ đề chứng minh xong.

Mặt khác, tập A là tập con của R (tập số thực), suy ra R là tập không đếm được.

Tập hợp số phức

Tập hợp số phức không đếm được.

Chứng minh

Do R là tập con của tập C (tập số phức), R không đếm được, suy ra C không đếm được.

Một số tập hợp khác

Tập các số thực thuộc các khoảng, đoạn, và nửa khoảng ((a,b), [a,b], [a,b), (a,b], [a,+${\displaystyle \infty }$), (a,+${\displaystyle \infty }$), (-${\displaystyle \infty }$,a), (-${\displaystyle \infty }$,a] )với a < b là số thực, là tập không đếm được (xem chứng minh ở phần tập hợp số thực).

Số thứ tự đếm được đầu tiên

${\displaystyle \mathbb {N} }$ là số thứ tự nhỏ nhất có lực lượng đếm được. Tiếp sau nó là ${\displaystyle \mathbb {N} +1,\mathbb {N} +2,\dots }$ Lực lượng của chúng đều bằng ${\displaystyle \aleph _{0}}$.

Số thứ tự không đếm được đầu tiên được ký hiệu là ${\displaystyle \omega _{1}}$. Tiếp sau nó là ${\displaystyle \omega _{1}+1,\omega _{2}+1,\dots }$ Lực lượng của chúng đều bằng ${\displaystyle \aleph _{1}}$, lực lượng không đếm được nhỏ nhất.

Xem thêm

• Tập hợp không đếm được
• Tập hợp đo được

Tham khảo

• Nguyễn Đình Trí (chủ biên) và các tác giả khác, Toán cao cấp, Tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục, tái bản lần thứ bảy, 2006.

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Countable Set" từ MathWorld.
• Countable set (mathematics) tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• Tập hợp đếm được tại Từ điển bách khoa Việt Nam