Trong toán học, ánh xạ (Tiếng Anh: mapping/Tiếng Hán:映射) là một khái niệm chỉ quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên kết mỗi phần tử của tập hợp đầu tiên (được gọi là tập nguồn) với đúng một phần tử của tập hợp thứ hai (được gọi là tập đích). Tập nguồn và tập đích không nhất thiết phải là tập số thực hay tập con của tập số thực mà hoàn toàn có thể là tập hợp của các vector, hàm giải tích, biến ngẫu nhiên, ... Nói cách khác, một ánh xạ biểu hiện một quy tắc hay thao tác biến đổi toán học nhất định từ một phần tử trên một không gian (tập hợp) sang đúng một phần tử (thường được gọi là ảnh) trên không gian (tập hợp) thứ hai. Các ánh xạ có thể là toàn ánh, đơn ánh hoặc song ánh phụ thuộc vào tính chất của ảnh trên tập hợp thứ hai, và có thể được thể hiện bởi các toán tử, ký hiệu toán học hoặc các phép toán từ sơ cấp tới cao cấp. Chẳng hạn, phép biến đổi Laplace là một ánh xạ từ tập chứa các hàm trên miền thời gian sang tập chứa các hàm trên miền tần số phức thông qua một phép biến đổi bằng tích phân. Hay một ma trận thường được sử dụng để thể hiện một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian Euclide.
Khi hai tập hợp là hai tập số thực hoặc tập con của số thực, ánh xạ giữa hai tập này thường được gọi là hàm số. Điều đó có nghĩa là hàm số được coi như một trường hợp đặc biệt của ánh xạ.
Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu ) là một quy tắc cho mỗi phần tử x X tương ứng với một phần tử xác định y Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu ,[1] nghĩa là .
Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.[1]
Với mỗi , tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, ký hiệu là . Ta có.[2]
Với mỗi tập con , tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f(A). Ta có.[2]
Với mỗi tập con , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh được gọi là tạo ảnh của tập B ký hiệu là . Ta có.[2]
Trong tương quan với khái niệm quan hệ, ta cũng có thể định nghĩa:
Một ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quan hệ từ X vào Y thoả mãn điều kiện: mọi phần tử đều có quan hệ với một và chỉ một phần tử .
Ánh xạ không đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất Y.
Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x)=x.[4]
Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con vào Y cho f(x)= x với mọi (cũng được gọi là đơn ánh chính tắc).[4] Khi đó ta ký hiệu f: X Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con , f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f(X) nên có thể thay thế các phần tử của tập con bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.
Cho ánh xạ và một tập hợp sao cho . Một ánh xạ mở rộng của tới là một ánh xạ từ vào sao cho .[6] Nói chung, với mỗi ánh xạ đã cho, có nhiều ánh xạ mở rộng khả dĩ.
Ánh xạ f từ x0 X lên Y sao cho với mỗi lân cận W của f(x0) đều tồn tại lân cận V của x0 trong X (V X) sao cho f(V) W được gọi là ánh xạ liên tục tại x0 lên Y
Ánh xạ Y = f(X) được gọi là ánh xạ liên tục từ X vào Y nếu nó liên tục với mọi x X
Ánh xạ đồng phôi: f:X→Y là ánh xạ song ánh, liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục. Khi đó X và Y được gọi là hai không gian, hai tập hợp đồng phôi hay tương đương tô pô
Contraction mappingánh xạ co là ánh xạ của không gian mêtric vào chính nó, sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì bị giảm đi qua ánh xạ đó. Người ta chứng minh rằng, nếu không gian mêtric là đủ thì mỗi ánh xạ co bao giờ cũng có một và chỉ một điểm bất động x, tức là F(x) = x