Định lý bất biến của miền xác định

Định lý bất biến miền (Invariance of domain) còn có tên gọi là Định lý Brouwer về tính bất biến của miền (domain), được chứng minh bởi nhà toán học Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) vào năm 1912. Định lý này được phát biểu cho không gian với tôpô Euclid (hiện nay đã có phát biểu cho các không gian khác). Từ "miền" (domain) (với nghĩa hiện nay không phổ biến) chỉ tập mở.

Phát biểu

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Cho tập hợp tập mở trong không gian (với tôpô Euclid) và là một đơn ánh liên tục. Khi đó cũng mở trong .

Chứng minh

[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh dưới đây là chứng minh phổ biến của hiện nay, tuy vậy đây không phải mà chứng minh của Brouwer. Mọi chứng minh cho đến hiện tại của định lý này ít nhiều đều phải nhờ đến các kết quả của tôpô đại số.

Cho tập mở. Với mỗi , có một quả cầu đóng tâm sao cho , có biên là và phần trong là . Ta sẽ chứng minh rằng mở trong , suy ra mở trong .

Tuy vậy, do có một sự “gần giống nhau” giữa , cùng với việc nhiều kết quả đã đạt được đối với mặt cầu , nên người ta thay việc chứng minh đối với thành việc chứng minh đối với . Các mệnh đề về compắc hóa dưới đây cho thấy sự “gần giống nhau” đó. Chứng minh các mệnh đề này có thể xem trong [1].

Mệnh đề. Compắc hóa Alexandroff của một không gian Hausdorff compắc địa phương thì Hausdorff.

Do đó các compắc hóa Alexandroff của đều Hausdorff.

Mệnh đề. Nếu đồng phôi với thì compắc hóa một-điểm Hausdorff (Hausdorff one-point compactification) của đồng phôi với compắc hóa một-điểm Hausdorff của .

 Do đó vì , nên với lần lượt là các compắc hóa một-điểm Hausdorff của , ta có .

 Với là ánh xạ chứa trong. Ta lưu ý rằng cách xây dựng compắc hóa Alexandroff của cho thấy mọi tập mở trong vẫn mở trong , tức là ánh xạ mở. Nên với , mở trong mở trong mở trong .

 Ta thấy là một đơn ánh, nên nếu với mọi là đơn ánh liên tục, ta chứng minh được mở trong thì định lý bất biến miền được chứng minh.

Định lý. Cho là một tập mở trong là đơn ánh liên tục. Khi đó cũng mở trong .

Chứng minh. Với mỗi , có một quả cầu đóng tâm sao cho , có biên là và phần trong là . Ta sẽ chứng minh mở trong . Chứng minh này cần kết quả quan trọng sau (chứng minh mệnh đề sau đây khá dài, ta có thể xem trong [2]).

Mệnh đề. Cho là một ánh xạ liên tục sao cho . Khi đó . (Tổng quát của mệnh đề này là, cho là một ánh xạ liên tục sao cho , khi đó , , với là nhóm đồng điều rút gọn (reduced simplicial homology group) thứ của . Định lý này có tên là định lý phân chia Jordan - Brouwer, xem trong [2] hoặc [3]).

Áp dụng cho . Do là đơn ánh liên tục, compắc và Hausdorff nên là một đồng phôi từ sang , ta có . Suy ra theo mệnh đề trên, ta có . Ta có là liên thông đường, bên cạnh đó cũng liên thông đường do liên thông đường. Vậy nên chia thành 2 thành phần liên thông đường rời nhau . Do là compắc nên cũng compắc, suy ra đóng trong (do Hausdorff). Suy ra

mở trong . Do đó hai thành phần liên thông đường cũng là hai thành phần liên thông của . Vậy nên chúng đều mở trong , nói riêng mở trong , do đó mở trong S^{n}. Ta có đpcm.

Hệ quả

[sửa | sửa mã nguồn]

đồng phôi thì phải bằng .

Chứng minh. Giả sử có đồng phôi . Khi đó với mọi tập mở ta có mở trong . Do , xét ánh xạ chứa trong , ta thấy các phần tử của sẽ được viết dưới dạng . Mặt khác do là một đơn ánh liên tục nên , theo định lý bất biến miền, phải mở trong , điều này là không thể bởi không có lân cận mở nào trong chứa trong . Vậy .

Làm ngược lại với , ta có . Vậy phải bằng nhau.

Định lý này có thể chứng minh ngắn gọn bằng cách dùng kết quả về các nhóm đồng điều .

Ý nghĩa trực quan. Định lý này cho thấy nếu xem phép đồng phôi, một cách trực quan, là phép co bóp kéo giãn mà không cắt hay dán, thì ta không thể kéo hay co bóp một "đường thẳng" , mặt phẳng hay cả không gian thành hai thứ còn lại.

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]