Một không gian tôpô gọi là liên thông nếu không thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở không rỗng rời nhau, nói cách khác nó không chứa một tập con thực sự vừa đóng vừa mở.
Một không gian tôpô E gọi là liên thông đường (hay liên thông cung)[1] nếu với mọi cặp hai điểm x, y trên E đều có thể xác lập một ánh xạ liên tục f từ đoạn thẳng đơn vị [0, 1] vào E sao cho f(0)=x, f(1)=y
Không gian tôpô X được gọi là không liên thông nếu nó là hội của hai Tập mở rời nhau khác rỗng. Ngược lại là liên thông.
Nói cách khác một không gian tôpô gọi là không gian tô pô liên thông nếu không thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở khác rỗng rời nhau, hoặc không chứa một tập con thực sự vừa là Tập đóng vừa là Tập mở.
Định lý:không gian X là liên thông nếu và chỉ nếu nó không có tập con nào vừa đóng vừa mở trong X ngoại trừ tập rỗng và chính nó.
Hệ quả:Trong mọi không gian topo X, tập X và tập rỗng là 2 tập duy nhất vừa đóng vừa mở trong X.
Ví dụ:
Trong với topo giới hạn dưới, khoảng là vừa đóng vừa mở. Do đó không liên thông trong topo này.
Hội của [0, 1) và (1, 2] là không liên thông vì 1 không thuộc hội của hai tập này; cả hai khoảng đó là mở trong không gian topo chuẩn [0, 1) ∪ (1, 2].
(0, 1) ∪ {x} là không liên thông nếu x không thuộc (0, 1).
Những tập con liên thông lớn nhất của không gian topo khác rỗng được gọi là thành phần liên thông của không gian đó.
Hai điểm x, y trong không gian topo X gọi là thông nhau nếu nó cùng nằm trong 1 tập liên thông. Khi đó quan hệ "thông nhau" là 1 quan hệ tương đương trên X. Quan hệ này chia X thành các lớp rời nhau, mỗi lớp đó gọi là một thành phần liên thông trong X. Ký hiệu một thành phần liên thông chứa x là C(x).
Định lý:Thành phần liên thông thì liên thông.
Định lý:Mỗi thành phần liên thông của X là tập con đóng của X.
Định lý:Nếu hai không gian là đồng phôi thì có một song ánh giữa các tập hợp các thành phần liên thông của hai không gian đó.
Định lý:Cho là Phép đồng phôi. Nếu C là thành phần liên thông của X thì f(C) là thành phần liên thông của Y.
Ví dụ:
R^k chỉ có 1 thành phần liên thông là chính nó. Tập Q có vô hạn các thành phần liên thông.
có hai thành phần liên thông.
Đường thẳng thực bỏ đi một điểm có hai thành phần liên thông.
Không gian topo X được gọi là liên thông đường nếu với mọi điểm x, y trong X có đường đi trong X từ x tới y. Tập con A của không gian topo X là liên thông đường trong X nếu A là liên thông đường trong không gian topo con, hay còn nói rằng A thừa kế từ X.
Không gian X gọi là liên thông đường nếu với 2 điểm x, y bất kì nếu tồn tại một ánh xạ liên tục f: [0,1]->X sao cho f(0)=x và f(1)=y. (Nói nôm na là giữa 2 điểm bất kì đều có 1 đường đi nối chúng)
Ví dụ:
Các tập lồi là các không gian liên thông đường.
liên thông đường.
Định lý:Tích của các không gian liên thông đường là liên thông đường.
Định lý:Nếu X là không gian liên thông đường, thì nó là liên thông.
Định lý:Giả sử là ánh xạ liên tục và X là liên thông đường. Thì là không gian con liên thông đường của Y.
Lớp tương đương dưới quan hệ tương đương được gọi là thành phần liên thông đương của X. Trong đó quan hệ tương đương trên không gian topo X được định nghĩa bởi nếu tồn tại một đường đi trong X từ x đến y.
Định lý: X là không gian topo, mỗi thành phần liên thông đường của X là liên thông đường.
Định lý: X là không gian topo, mỗi tập con liên thông đường của X là tập con của những thành phần liên thông đường của X.
Định lý:Nếu là họ tập con khác rỗng liên thông đường của không gian topo sao cho là khác rỗng, thì cũng liên thông đường.
Định lý: là đồng phôi và C là thành phần liên thông đường của X, thì là thành phần liên thông đường của Y.
Trong không gian topo này, V lân cận của p và nó chứa lân cân liên thông có chứa p (đĩa màu xanh).
Định nghĩa: là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu với mọi trong và mọi Lân cận của thì có một lân cận liên thông của sao .
Ví dụ
Mỗi khoảng và tia trong đường thẳng thực thì liên thông địa phương.
Không gian con của thì không liên thông nhưng nó liên thông địa phương.
Với là số nguyên dương,Không gian Euclide là liên thông và liên thông địa phương.
Topologist's sine curve là không gian con của mặt phẳng Eclide thì liên thông nhưng không liên thông địa phương.
Tập hợp các Số hữu tỉ với topo Eclide thì không liên thông địa phương.
Định lý: là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu với mọi tập mở trong ,mà mỗi thành phần liên thông của là mở trong .
Hệ quả: Nếu là liên thông địa phương thì mỗi thành phần liên thông của là mở.
Định lý: Mọi tập con mở của không gian liên thông địa phương thì liên thông địa phương.
Định nghĩa: (Liên thông địa phương yếu) Không gian là liên thông địa phương yếu nếu mọi lân cận của có một không gian con liên thông của chứa trong và chứa .
Định lý:Không gian topo là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu với mọi tập mở trong , mà mỗi thành phần liên thông đường trong là mở trong .
Hệ quả Nếu là liên thông đường địa phương thì mỗi thành phân liên thông của là mở.
Định lý: Mọi tập con mở của không gian liên thông đường địa phương thì liên thông đường địa phương.
Định nghĩa(Liên thông địa phương yếu) Không gian là liên thông đường địa phương yếu tại nếu với mọi lân cận của có một không gian con liên thông đường của chứa trong và chứa .
Quan hệ giữa liên thông địa phương và liên thông đường địa phương
Bầu trời vào ban đêm đưa lên không trung trên đài quan sát trên không lớn nhất thế giới - một máy bay phản lực khổng lồ được sửa đổi đặc biệt, bay ra khỏi California
Qua chương 1080 thì ta biết thêm được về SWORD, về cơ bản thì họ là đội biệt kích đặc biệt gồm những Hải Quân đã từ bỏ Quân Tịch nhưng vẫn hoạt động với vai trò là 1 Hải Quân