Phép đổi biến tích phân

Một phần của loạt bài về
Vi tích phân
Định lý cơ bản Quy tắc tích phân Leibniz Giới hạn của hàm số Tính liên tục Định lý giá trị trung bình Định lý Rolle
Vi phân Định nghĩa Đạo hàm (Tổng quát) Vi phân vô cùng bé hàm số toàn phần Khái niệm Ký hiệu vi phân Đạo hàm bậc hai Vi phân ẩn Định lý Taylor Quy tắc và đẳng thức Cộng Nhân Dây chuyền Lũy thừa Chia Quy tắc l'Hôpital Hàm ngược Leibniz tổng quát Công thức Faà di Bruno
Tích phân Danh sách tích phân Biến đổi tích phân Định nghĩa Nguyên hàm Tích phân (suy rộng) Tích phân Riemann Tích phân Lebesgue Tích phân theo chu tuyến Tích phân của hàm ngược Kỹ thuật Từng phần Đĩa Vỏ Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler) Công thức Euler Đổi trật tự Công thức truy hồi Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân
Chuỗi Hình học (số học-hình học) Điều hòa Đan dấu Lũy thừa Nhị thức Taylor Tiêu chuẩn hội tụ Số hạng d'Alembert Cauchy Tích phân So sánh So sánh giới hạn Chuỗi đan dấu Cô đọng Cauchy Dirichlet Abel
Vectơ Gradien Div Rot Laplace Đạo hàm có hướng Đẳng thức Định lý Gauss Gradient Green Kelvin–Stokes Stokes
Nhiều biến Chủ đề Ma trận Tenxơ Đạo hàm ngoài Hình học Định nghĩa Đạo hàm riêng Tích phân bội Tích phân đường Tích phân mặt Tích phân thể tích Ma trận Jacobi Ma trận Hesse
Chuyên ngành Malliavin Ngẫu nhiên Phép tính biến phân
Thuật ngữ Thuật ngữ giải tích
x t s

Trong giải tích, phép đổi biến là một công cụ để tính nguyên hàm và tích phân.

Nếu f(x) là một hàm số khả tích, và φ(t) là một hàm số liên tục khả vi có miền xác định là khoảng [a, b] và miền giá trị nằm trong miền xác định của f. Đồng thời φ'(t) là khả tích trên [a,b] và

${\displaystyle \phi '(t)\neq 0\quad }$ cho mọi t trong [a,b]

Thì

${\displaystyle \int _{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(\phi (t))\phi '(t)\,dt}$

Công thức này có thể ghi nhớ thông qua công thức Leibniz: thế cùng lúc x = φ(t) và dx = φ'(t) dt (do dx / dt = φ'(t)) vào biểu thức tích phân.

Công thức trên có thể được dùng để biến đổi một tích phân thành một tích phân có thể dễ tính hơn. Có thể biến đổi từ vế phải sang vế trái, hoặc từ vế trái sang vế phải, tuỳ theo ứng dụng. Việc biến từ vế trái sang vế phải còn được gọi là phép thế-u.

Tham khảo