Định lý Rolle

Một phần của loạt bài về
Vi tích phân
Định lý cơ bản Quy tắc tích phân Leibniz Giới hạn của hàm số Tính liên tục Định lý giá trị trung bình Định lý Rolle
Vi phân Định nghĩa Đạo hàm (Tổng quát) Vi phân vô cùng bé hàm số toàn phần Khái niệm Ký hiệu vi phân Đạo hàm bậc hai Vi phân ẩn Định lý Taylor Quy tắc và đẳng thức Cộng Nhân Dây chuyền Lũy thừa Chia Quy tắc l'Hôpital Hàm ngược Leibniz tổng quát Công thức Faà di Bruno
Tích phân Danh sách tích phân Biến đổi tích phân Định nghĩa Nguyên hàm Tích phân (suy rộng) Tích phân Riemann Tích phân Lebesgue Tích phân theo chu tuyến Tích phân của hàm ngược Kỹ thuật Từng phần Đĩa Vỏ Thế (lượng giác, Weierstrass, Euler) Công thức Euler Đổi trật tự Công thức truy hồi Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân
Chuỗi Hình học (số học-hình học) Điều hòa Đan dấu Lũy thừa Nhị thức Taylor Tiêu chuẩn hội tụ Số hạng d'Alembert Cauchy Tích phân So sánh So sánh giới hạn Chuỗi đan dấu Cô đọng Cauchy Dirichlet Abel
Vectơ Gradien Div Rot Laplace Đạo hàm có hướng Đẳng thức Định lý Gauss Gradient Green Kelvin–Stokes Stokes
Nhiều biến Chủ đề Ma trận Tenxơ Đạo hàm ngoài Hình học Định nghĩa Đạo hàm riêng Tích phân bội Tích phân đường Tích phân mặt Tích phân thể tích Ma trận Jacobi Ma trận Hesse
Chuyên ngành Malliavin Ngẫu nhiên Phép tính biến phân
Thuật ngữ Thuật ngữ giải tích
x t s

Trong vi tích phân, định lý Rolle phát biểu rằng bất cứ hàm giá trị thực nào khả vi, đạt giá trị bằng nhau tại hai điểm phân biệt phải có điểm tĩnh lại đâu đó giữa chúng; đó là, một điểm nơi đạo hàm cấp một (hệ số góc của đường tiếp tuyến với đồ thị của hàm) bằng 0.

Chứng minh định lý Rolle phát biểu dưới dạng trên tương đối phức tạp. Thường ta phải sử dụng định lý Fermat. Tuy nhiên, ta có thể phát biểu lại định lý Rolle dưới dạng thu hẹp hơn. Khi đó việc chứng minh là đơn giản.

Định lý Rolle thu hẹp

Nếu hàm số thực f liên tục trên đoạn [a; b], (a < b), khả vi liên tục trên khoảng (a; b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f′(c) = 0.

Chứng minh

Giả sử không tồn tại c ∈ (a; b) để f′(c) = 0, tức là f′(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a; b). Khi đó, do f′(x) liên tục trên (a; b) nên f′(x) không đổi dấu trên (a; b).

Không giảm tính tổng quát, giả sử f′(x) > 0 ∀x ∈ (a; b). Mà f(x) liên tục trên [a; b] nên f(x) đồng biến trên [a; b], suy ra f(a) < f(b), trái với giả thiết f(a) = f(b).

Điều này chứng tỏ giả sử ban đầu của chúng ta là sai. Vậy tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f′(c) = 0. Bài toán đã được chứng minh.

Tham khảo

• Kaplansky, Irving (1972), Fields and Rings
• Craven, Thomas; Csordas, George (1977), “Multiplier sequences for fields”, Illinois J. Math., 21 (4): 801–817
• Ballantine, C.; Roberts, J. (tháng 1 năm 2002), “A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields”, The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 109 (1): 72–74, doi:10.2307/2695770, JSTOR 2695770

Liên kết ngoài

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Rolle theorem”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Rolle's and Mean Value Theorems at Cut-the-knot.

Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Định lý Rolle.