Hình học afin

Hình học
Hình chiếu một mặt cầu lên mặt phẳng.
Đại cương Lịch sử
Phân nhánh Euclid Phi Euclid Elliptic Cầu Hyperbol Hình học phi Archimedes Chiếu Afin Tổng hợp Giải tích Đại số Số học Diophantos Vi phân Riemann Symplectic Phức Hữu hạn Rời rạc Kỹ thuật số Lồi Tính toán Fractal Liên thuộc
Khái niệm Chiều Phép dựng hình bằng thước kẻ và compa Đỉnh Đường cong Đường chéo Góc Song song Vuông góc Đối xứng Đồng dạng Tương đẳng
Không chiều Điểm
Một chiều Đường thẳng Đoạn thẳng Tia Chiều dài
Hai chiều Mặt phẳng Diện tích Đa giác Tam giác Đường cao (tam giác) Cạnh huyền Định lý Pythagoras Hình bình hành Hình vuông Hình chữ nhật Hình thoi Rhomboid Tứ giác Hình thang Hình diều Đường tròn Đường kính Chu vi Diện tích
Ba chiều Thể tích Khối lập phương Hình hộp chữ nhật Hình trụ tròn Hình chóp Mặt cầu
Bốn chiều / số chiều khác Tesseract Siêu cầu
Nhà hình học
theo tên Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Trương Hành
theo giai đoạn trước Công nguyên Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Trương Hành Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Ngày nay Atiyah Gromov
x t s

Hình học afin là môn hình học không có bao hàm các khái niệm về gốc tọa độ, chiều dài hay góc, mà thay vào đó là các khái niệm về phép trừ của các điểm để cho ra một vectơ.

Nó thuộc dạng nằm giữa của hình học Euclide và hình học xạ ảnh (hình học chiếu). Nó còn gọi là hình học của không gian afin, của một chiều cho sẵn n trên trường K. Trường hợp K là số thực, ta sẽ cụ thể hơn.

Nền móng

Hình học afin có thể xem là hình học của vectơ không chứa các khái niệm chiều dài hay góc. Không gian afin có thể xem là không gian vectơ ở tại cùng chiều khi mà bỏ qua gốc tọa độ 0. Đó là cách nghĩ của các tài liệu cũ khi đề cập đến lý thuyết vectơ tự do. Quan điểm hiện nay và trừu tượng hơn, đề cập ở cuối trang, là sự rút gọn của hình học afin về đại số tuyến tính.

Ứng dụng và các mối quan hệ

Khái niệm hình học afin có nhiều ứng dụng, ví dụ trong hình học vi phân. Do có mối quan hệ mật thiết với đại số tuyến tính, có nhiều cách để diễn đạt mối quan hệ này.

Biến đổi afin

Bài chi tiết: Biến đổi afin

Theo mục tiêu chung của chương trình Erlangen, để có thể nói chính xác hình học affine là gì thì hãy nhìn vào nhóm các phép biến đổi đối xứng của nó.

Điều này có thể thực hiện nhanh chóng trong không gian vectơ V. Nhóm tuyến tính tổng quát GL(V) không phải là toàn bộ nhóm afin: mà còn kém theo phép tịnh tiến theo vectors v trong V. (Phép tịnh tiến này sẽ ánh xạ mọi w trong V thành w + v.) Nhóm afin được tọa bởi nhóm tuyến tính chung và phép tịnh tiến hay chính là semidirect product của V  GL(V). (Dùng cách biểu diễn GL(V) trên V để quy định semidirect product.)

Tham khảo

Liên kết ngoài

• Hình học Afin Lưu trữ 2022-08-18 tại Wayback Machine trên Từ điển bách khoa Việt Nam
• Không gian Afin Lưu trữ 2016-09-19 tại Wayback Machine trên Từ điển bách khoa Việt Nam