Số nguyên tố Ramanujan

Số nguyên tố Ramanujan là tên gọi các số nguyên tố thỏa mãn một kết quả do nhà toán học Ấn Độ Srinivasa Ramanujan tìm ra.

Nguồn gốc và định nghĩa

Năm 1919, Ramanujan công bố một cách chứng minh định đề Bertrand.^[1] Về khúc cuối bài nghiên cứu này (chỉ hai trang), Ramanujan rút ra thêm một kết luận nữa, là:

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\frac {x}{2}}\right)\geq 1,2,3,4,5,\ldots }$ lần lượt tương ứng với ${\displaystyle x\geq 2,11,17,29,41,\ldots }$

trong đó hàm ${\displaystyle \pi }$(x) là số các số nguyên tố ≤ x.

Kết quả này, khi đọc ngược lại, trở thành định nghĩa của số nguyên tố Ramanujan, và các số 2, 11, 17, 29, 41 là những con số đầu trong các số nguyên tố Ramanujan. Nói cách khác:

Số nguyên tố Ramanujan là các số R_n sao cho R_n là số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ ≥ n, cho mọi x ≥ R_n

Hay nói cách khác nữa:

Số nguyên tố Ramanujan là các số nguyên R_n sao cho R_n là số nhỏ nhất có thể bảo đảm có n số nguyên tố giữa x và x/2 cho mọi x ≥ R_n

Vì R_n là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên, nên R_n phải là số nguyên tố: Mỗi khi hàm ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ tăng lên 1, đó là do có thêm một số nguyên tố nữa.

Tham khảo

1. S. Ramanujan (2000). Collected papers of Srinivasa Ramanujan. American Mathematical Society. tr. 208-209. (tiếng Anh)