Số Fortune

Vấn đề mở trong toán học:

Liệu có số Fortune nào là hợp số không?

Số Fortune, được đặt tên theo Reo Fortune là số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn m > 1 và với giá trị nguyên đưa trước n, p_n# + m là số nguyên tố, trong đó primorial p_n# là tích của n số nguyên tố đầu tiên.

Giả sử ta muốn tìm số Fortune thứ 7, trước hết ta phải tính tích 7 số nguyên tố đầu tiên (2, 3, 5, 7, 11, 13 và 17) được 510510. Thêm 2 vào thì ra số chẵn, thêm 3 thì sẽ chia hết cho 3, cứ như vậy cho đến hết 18. Nếu cộng với 19 thì ra 510529 là số nguyên tố. Do đó 19 là số Fortune cần tìm. Số Fortune cho p_n# luôn lớn hơn p_n và các ước của nó cũng lớn hơn p_n. Do định nghĩa của p_n# nên p_n# + m luôn bị chia hết bởi các ước nguyên tố của m không lớn hơn p_n.

Các số Fortune cho các primorial đầu tiên là:

3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, v.v. (dãy số A005235 trong bảng OEIS).

Dãy các số Fortune được sắp xếp theo thứ tự tăng dần và không lặp lại là:

3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, 163, 167, 191, 197, 199, ... (dãy số A046066 trong bảng OEIS).

Fortune đặt giả thuyết rằng không số Fortune nào là hợp số cả (Giả thuyết Fortune).^[1] Số nguyên tố Fortunate là số Fortune nhưng cũng đồng thời là số nguyên tố. Tính đến năm 2012^{[cập nhật]}, mọi số Fortune đã biết đều là số nguyên tố. Nếu hợp số Fortune tồn tại thì giá trị của nó phải lớn hơn hoặc bằng p_n+1².

Tham khảo

^ Guy, Richard K. (1994). Unsolved problems in number theory (ấn bản thứ 2). Springer. tr. 7–8. ISBN 0-387-94289-0.

Chris Caldwell, "The Prime Glossary: Fortunate number" at the Prime Pages.
Weisstein, Eric W., "Fortunate Prime" từ MathWorld.

[1] Guy, Richard K. (1994). Unsolved problems in number theory (ấn bản thứ 2). Springer. tr. 7–8. ISBN 0-387-94289-0.

[1]

x t s Phân loại các số nguyên tố
Theo công thức	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Mersenne kép ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Giai thừa ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Carol $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Theo dãy số nguyên	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Phân hoạch Bell Motzkin
Theo tính chất	(Cặp Wieferich) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson May rủi May mắn Ramanujan Pillai Chính quy Mạnh Stern Siêu trội (đối với đường cong elliptic) Siêu trội (trong thuyết Ánh trăng) Tốt Siêu phàm Higgs Fortune
Phụ thuộc vào hệ số	May mắn Nhị diện Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Hoán vị Vòng Rút ngắn được Strobogrammatic Tối thiểu Yếu Đầy đủ Đơn nhất Nguyên thủy Smarandache–Wellin
Theo mô hình	Sinh đôi ( $p, p + 2$ ) Chuỗi bộ đôi ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Bộ tam ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Bộ tứ ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) Bộ k Họ hàng ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain ( $p, 2 p + 1$ ) chuỗi Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) An toàn ( $p, (p - 1)/2$ ) Trong cấp số cộng ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, \dots$ ) Đối xứng ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
Theo kích thước	Hàng nghìn (1,000+ chữ số) Hàng chục nghìn (10,000+ chữ số) Hàng triệu (1,000,000+ chữ số) Lớn nhất từng biết
Số phức	Số nguyên tố Eisenstein Số nguyên tố Gauss
Hợp số	Số giả nguyên tố Số gần nguyên tố Số nửa nguyên tố Giữa các nguyên tố
Chủ đề liên quan	Số có thể nguyên tố Số nguyên tố cấp công nghiệp Số nguyên tố bất chính Công thức của số nguyên tố Khoảng cách nguyên tố
50 số nguyên tố đầu	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
Danh sách số nguyên tố