Số Leyland

Theo lý thuyết số, số Leyland là một số có dạng

x^{y}+y^{x}

Trong đó x và y là các số nguyên lớn hơn 1.^[1] Chúng được đặt theo tên của nhà toán học Paul Leyland. Một vài số Leyland đầu tiên là

8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124 (dãy số A076980 trong bảng OEIS) .

Điều kiện x và y đều lớn hơn 1 là quan trọng, vì nếu không có nó, mọi số nguyên dương sẽ là một số Leyland có dạng $x^{1}+1^{x}$ . Ngoài ra, do tính chất giao hoán của phép cộng, điều kiện x ≥ y thường được thêm vào để tránh trùng lặp tập hợp các số Leyland (vì vậy có 1 < y ≤ x ).

Số nguyên tố Leyland

Số nguyên tố Leyland là một số vừa là số Leyland vừa là số nguyên tố. Một vài số nguyên tố Leyland đầu tiên là:

17, 593, 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, ... (dãy số A094133 trong bảng OEIS)

tương ứng với

3² +2³, 9² +2⁹, 15² +2¹⁵, 21² +2²¹, 33² +2³³, 24⁵ +5²⁴, 56³ +3⁵⁶, 32¹⁵ +15³² . ^[2]

Người ta cũng có thể cố định giá trị của y và xem xét chuỗi các giá trị x tạo ra các số nguyên tố Leyland, ví dụ x ² + 2 ^x là số nguyên tố đối với x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759 ,. . . ( A064539 ).

Có một dự án được gọi là XYYXF để phân tích các số Leyland là hợp số . ^[3]

Hiện tại, số Leyland lớn nhất có thể là số nguyên tố là 81650 ⁵⁴³⁶⁹ +54369 ⁸¹⁶⁵⁰ (386.642 chữ số). Số này được tìm thấy bởi Yusuf AttarBashi, vào tháng 6 năm 2021. ^[4]

Số Leyland thuộc loại thứ hai

Số Leyland thuộc loại thứ hai là số có dạng

x^{y}-y^{x}

Trong đó x và y là các số nguyên lớn hơn 1. Những con số đầu tiên như vậy là:

0, 1, 7, 17, 28, 79, 118, 192, 399, 431, 513, 924, 1844, 1927, 2800, 3952, 6049, 7849, 8023, 13983, 16188, 18954, 32543, 58049, 61318, 61440, 65280, 130783, 162287, 175816, 255583, 261820, ... (dãy số A045575 trong bảng OEIS)

Số nguyên tố Leyland thuộc loại thứ hai là số vừa là số Leyland thuộc loại thứ hai, vừa là số nguyên tố. Một vài số đầu tiên như vậy là:

7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 8375575711, 13055867207, 83695120256591, 375700268413577, 2251799813682647, ... (dãy số A123206 trong bảng OEIS)

Tham khảo

^ Richard Crandall and Carl Pomerance (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective, Springer
^ “Primes and Strong Pseudoprimes of the form x^y + y^x”. Paul Leyland. Bản gốc lưu trữ ngày 10 tháng 2 năm 2007. Truy cập ngày 14 tháng 1 năm 2007.
^ “Factorizations of x^y + y^x for 1 < y < x < 151”. Andrey Kulsha. Truy cập ngày 24 tháng 6 năm 2008.
^ Havermann, Hans. “List of known Leyland primes”. Lưu trữ bản gốc ngày 30 tháng 6 năm 2021. Truy cập ngày 30 tháng 6 năm 2021.

[CP2005-1] Richard Crandall and Carl Pomerance (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective, Springer

[Leyland-2] “Primes and Strong Pseudoprimes of the form x^y + y^x”. Paul Leyland. Bản gốc lưu trữ ngày 10 tháng 2 năm 2007. Truy cập ngày 14 tháng 1 năm 2007.

[Kulsha-3] “Factorizations of x^y + y^x for 1 < y < x < 151”. Andrey Kulsha. Truy cập ngày 24 tháng 6 năm 2008.

[4] Havermann, Hans. “List of known Leyland primes”. Lưu trữ bản gốc ngày 30 tháng 6 năm 2021. Truy cập ngày 30 tháng 6 năm 2021.

[1]

[2]

[3]

[4]

x t s Phân loại các số nguyên tố
Theo công thức	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Mersenne kép ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Giai thừa ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Carol $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Theo dãy số nguyên	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Phân hoạch Bell Motzkin
Theo tính chất	(Cặp Wieferich) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson May rủi May mắn Ramanujan Pillai Chính quy Mạnh Stern Siêu trội (đối với đường cong elliptic) Siêu trội (trong thuyết Ánh trăng) Tốt Siêu phàm Higgs Fortune
Phụ thuộc vào hệ số	May mắn Nhị diện Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Hoán vị Vòng Rút ngắn được Strobogrammatic Tối thiểu Yếu Đầy đủ Đơn nhất Nguyên thủy Smarandache–Wellin
Theo mô hình	Sinh đôi ( $p, p + 2$ ) Chuỗi bộ đôi ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Bộ tam ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Bộ tứ ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) Bộ k Họ hàng ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain ( $p, 2 p + 1$ ) chuỗi Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) An toàn ( $p, (p - 1)/2$ ) Trong cấp số cộng ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, \dots$ ) Đối xứng ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
Theo kích thước	Hàng nghìn (1,000+ chữ số) Hàng chục nghìn (10,000+ chữ số) Hàng triệu (1,000,000+ chữ số) Lớn nhất từng biết
Số phức	Số nguyên tố Eisenstein Số nguyên tố Gauss
Hợp số	Số giả nguyên tố Số gần nguyên tố Số nửa nguyên tố Giữa các nguyên tố
Chủ đề liên quan	Số có thể nguyên tố Số nguyên tố cấp công nghiệp Số nguyên tố bất chính Công thức của số nguyên tố Khoảng cách nguyên tố
50 số nguyên tố đầu	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
Danh sách số nguyên tố