Số nguyên tố Wolstenholme

Số nguyên tố Wolstenholme
Đặt tên theo	Joseph Wolstenholme
Năm xuất bản	1995
Tác giả	McIntosh, R. J.
Số các phần tử đã biết	2
Giả thuyết số phần tử	Vô hạn
Dãy con của	Dãy số nguyên tố phi chính quy
Các phần tử đầu tiên	16843, 2124679
Phần tử lớn nhất đã được biết	2124679
Chỉ số OEIS	A088164; Số nguyên tố Wolstenholme: các số nguyên tố p sao cho hệ số nhị thức(2p-1,p-1) == 1 (mod p^4);

Trong lý thuyết số, số nguyên tố Wolstenholme là loại số nguyên tố đặc biệt thỏa mãn dạng mạnh hơn của định lý Wolstenholme. Định lý Wolstenholme là quan hệ đồng dư được thỏa mãn bởi mọi số nguyên tố lớn hơn ba. Các số nguyên tố Wolstenholme được đặt tên theo nhà toán học Joseph Wolstenholme, người lần đầu phát biểu định lý trên trong thế kỷ 19.

Các số nguyên tố này được chú ý tới bởi quan hệ của chúng với định lý lớn Fermat. Ngoài ra các số nguyên tố Wolstenholme cũng có quan hệ với một số lớp nguyên tố khác.

Chỉ có hai số nguyên tố Wolstenholme được biết là 16843 và 2124679 (dãy số A088164 trong bảng OEIS). Không có số nguyên tố Wolstenholme nào khác nằm dưới 10⁹.^[2]

Định nghĩa

Vấn đề mở trong toán học:

Liệu có các số nguyên tố Wolstenholme nào khác ngoài 16843 và 2124679 không?

(các vấn đề mở khác trong toán học)

Số nguyên tố Wolstenholme có thể định nghĩa dưới các cách sau.

Định nghĩa qua hệ số nhị thức

Số nguyên tố Wolstenholme là số nguyên tố p > 7 thỏa mãn biểu thức đồng dư sau:

{2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}},

Trong đó dấu ngoặc ở vế trái kí hiệu hệ số nhị thức.^[3] Định lý Wolstenholme phát biểu rằng với mọi số nguyên tố p > 3 quan hệ đồng dư sau được thỏa mãn:

{2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}.

Định nghĩa qua các số Bernoulli

Số nguyên tố Wolstenholme là số nguyên tố p là ước của tử số của số Bernoulli B_p−3.^[4]^[5]^[6] Do đó các số nguyên tố Wolstenholme tạo thành tập con của các số nguyên tố phi chính quy.

Định nghĩa qua các cặp số phi chính quy

Số nguyên tố Wolstenholme là số nguyên tố p sao cho (p, p–3) là cặp số phi chính quy.^[7]^[8]

Định nghĩa qua các số điều hòa

Số nguyên tố Wolstenholme là số nguyên tố p sao cho^[9]

H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{3}}}\,,

Tìm kiếm số nguyên tố Wolstenholme

Công cuộc tìm kiếm các số nguyên tố Wolstenholme bắt đầu từ những năm 1960 cho tới ngày nay, với kết quả mới nhất vào năm 2007. Số nguyên tố Wolstenholme đầu tiên 16843 được tìm thấy vào năm 1964, mặc dù nó không được báo cáo vào thời gian đó.^[10] Phát hiện năm 1964 sau đó được công nhận vào những năm 1970. Đây là số nguyên tố Wolstenholme duy nhất được biết trong suốt 20 năm, cho đến khi thông báo tìm được thêm số nguyên tố Wolstenholme thứ hai 2124679 trong 1993.^[11] Cho tới 1,2×10⁷, không có số nguyên tố Wolstenholme nào khác được tìm thấy.^[12] Sau này được cải tiến lên tới 2×10⁸ bởi McIntosh vào 1995.^[5] Trevisan & Weber cải tiến thêm lên tới 2,5×10⁸.^[13] Kết quả mới nhất trong 2007 báo cáo rằng không có số nguyên tố Wolstenholme nào khác nằm dưới 10⁹.^[14]

Phỏng đoán số số nguyên tố Wolstenholme

Hiện các nhà toán học đang giả thuyết rằng có vô số số nguyên tố Wolstenholme.^[5] Hơn nữa còn có giả thuyết số các số nguyên tố Wolstenholme nhỏ hơn hoặc bằng x nằm vào khoảng ln ln x, trong đó ln ký hiệu lôgarit tự nhiên. Với mỗi số nguyên tố p ≥ 5, thương Wolstenholme được định nghĩa như sau

W_{p}{=}{\frac {{2p-1 \choose p-1}-1}{p^{3}}}.

p là số nguyên tố Wolstenholme khi và chỉ khi W_p ≡ 0 (mod p).

Xem thêm

Chú thích

^ Số nguyên tố Wolstenholme được miêu tả đầu tiên trong McIntosh 1995, tr. 385
^ Weisstein, Eric W., "Wolstenholme prime" từ MathWorld.
^ Cook, J. D. “Binomial coefficients”. Truy cập 21 Tháng mười hai năm 2010.
^ Clarke & Jones 2004, tr. 553.
^ ^a ^b ^c McIntosh 1995, tr. 387.
^ Zhao 2008, tr. 25.
^ Johnson 1975, tr. 114.
^ Buhler và đồng nghiệp 1993, tr. 152.
^ Zhao 2007, tr. 18.
^ Selfridge và Pollack xuất bản số nguyên tố Wolstenholme đầu tiên trong Selfridge & Pollack 1964, tr. 97 (xem McIntosh & Roettger 2007, tr. 2092).
^ Ribenboim 2004, tr. 23.
^ Zhao 2007, tr. 25.
^ Trevisan & Weber 2001, tr. 283–284.
^ McIntosh & Roettger 2007, tr. 2092.

Tham khảo

Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), “Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000”, Notices of the American Mathematical Society, 11: 97
Johnson, W. (1975), “Irregular Primes and Cyclotomic Invariants” (PDF), Mathematics of Computation, 29 (129): 113–120, doi:10.2307/2005468, JSTOR 2005468, Bản gốc (PDF) lưu trữ 22 tháng Chín năm 2022, truy cập 27 tháng Bảy năm 2022
Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), “Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million” (PDF), Mathematics of Computation, 61 (203): 151–153, Bibcode:1993MaCom..61..151B, doi:10.2307/2152942, JSTOR 2152942, Bản gốc (PDF) lưu trữ 27 tháng Bảy năm 2022, truy cập 27 tháng Bảy năm 2022
McIntosh, R. J. (1995), “On the converse of Wolstenholme's Theorem” (PDF), Acta Arithmetica, 71 (4): 381–389, doi:10.4064/aa-71-4-381-389, Bản gốc (PDF) lưu trữ 8 Tháng tám năm 2022, truy cập 27 tháng Bảy năm 2022
Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), “Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem” (PDF), Matemática Contemporânea, 21: 275–286, Bản gốc (PDF) lưu trữ 22 tháng Chín năm 2022, truy cập 27 tháng Bảy năm 2022
Ribenboim, P. (2004), “Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime”, The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 978-0-387-20169-6, Bản gốc lưu trữ 14 tháng Năm năm 2023, truy cập 5 tháng Bảy năm 2023
Clarke, F.; Jones, C. (2004), “A Congruence for Factorials” (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 36 (4): 553–558, doi:10.1112/S0024609304003194
McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), “A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes” (PDF), Mathematics of Computation, 76 (260): 2087–2094, Bibcode:2007MaCom..76.2087M, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2
Zhao, J. (2007), “Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p⁵ variations of Lucas' theorem” (PDF), Journal of Number Theory, 123: 18–26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005, S2CID 937685, Bản gốc (PDF) lưu trữ 20 tháng Bảy năm 2022, truy cập 27 tháng Bảy năm 2022
Zhao, J. (2008), “Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums” (PDF), International Journal of Number Theory, 4 (1): 73–106, doi:10.1142/s1793042108001146, Bản gốc (PDF) lưu trữ 20 tháng Chín năm 2022, truy cập 27 tháng Bảy năm 2022

Đọc thêm

Babbage, C. (1819), “Demonstration of a theorem relating to prime numbers”, The Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46–49
Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), “On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II”, Communications in Number Theory and Physics, 3 (3): 555–591, arXiv:0907.2578, Bibcode:2009arXiv0907.2578K, doi:10.4310/CNTP.2009.v3.n3.a5
Wolstenholme, J. (1862), “On Certain Properties of Prime Numbers”, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 5: 35–39

Liên kết ngoài

Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime from The Prime Glossary
McIntosh, R. J. Wolstenholme Search Status as of March 2004 e-mail to Paul Zimmermann
Bruck, R. Wolstenholme's Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients
Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums interesting observation involving the two Wolstenholme primes

[1] Số nguyên tố Wolstenholme được miêu tả đầu tiên trong McIntosh 1995, tr. 385

[2] Weisstein, Eric W., "Wolstenholme prime" từ MathWorld.

[3] Cook, J. D. “Binomial coefficients”. Truy cập 21 Tháng mười hai năm 2010.

[FOOTNOTEClarkeJones2004553-4] Clarke & Jones 2004, tr. 553.

[FOOTNOTEMcIntosh1995387-5] McIntosh 1995, tr. 387.

[FOOTNOTEZhao200825-6] Zhao 2008, tr. 25.

[FOOTNOTEJohnson1975114-7] Johnson 1975, tr. 114.

[FOOTNOTEBuhlerCrandallErnvallMetsänkylä1993152-8] Buhler và đồng nghiệp 1993, tr. 152.

[FOOTNOTEZhao200718-9] Zhao 2007, tr. 18.

[10] Selfridge và Pollack xuất bản số nguyên tố Wolstenholme đầu tiên trong Selfridge & Pollack 1964, tr. 97 (xem McIntosh & Roettger 2007, tr. 2092).

[FOOTNOTERibenboim200423-11] Ribenboim 2004, tr. 23.

[FOOTNOTEZhao200725-12] Zhao 2007, tr. 25.

[FOOTNOTETrevisanWeber2001283–284-13] Trevisan & Weber 2001, tr. 283–284.

[FOOTNOTEMcIntoshRoettger20072092-14] McIntosh & Roettger 2007, tr. 2092.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

x t s Phân loại các số nguyên tố
Theo công thức	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Mersenne kép ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Giai thừa ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Carol $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Theo dãy số nguyên	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Phân hoạch Bell Motzkin
Theo tính chất	(Cặp Wieferich) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson May rủi May mắn Ramanujan Pillai Chính quy Mạnh Stern Siêu trội (đối với đường cong elliptic) Siêu trội (trong thuyết Ánh trăng) Tốt Siêu phàm Higgs Fortune
Phụ thuộc vào hệ số	May mắn Nhị diện Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Hoán vị Vòng Rút ngắn được Strobogrammatic Tối thiểu Yếu Đầy đủ Đơn nhất Nguyên thủy Smarandache–Wellin
Theo mô hình	Sinh đôi ( $p, p + 2$ ) Chuỗi bộ đôi ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Bộ tam ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Bộ tứ ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) Bộ k Họ hàng ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain ( $p, 2 p + 1$ ) chuỗi Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) An toàn ( $p, (p - 1)/2$ ) Trong cấp số cộng ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, \dots$ ) Đối xứng ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
Theo kích thước	Hàng nghìn (1,000+ chữ số) Hàng chục nghìn (10,000+ chữ số) Hàng triệu (1,000,000+ chữ số) Lớn nhất từng biết
Số phức	Số nguyên tố Eisenstein Số nguyên tố Gauss
Hợp số	Số giả nguyên tố Số gần nguyên tố Số nửa nguyên tố Giữa các nguyên tố
Chủ đề liên quan	Số có thể nguyên tố Số nguyên tố cấp công nghiệp Số nguyên tố bất chính Công thức của số nguyên tố Khoảng cách nguyên tố
50 số nguyên tố đầu	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
Danh sách số nguyên tố