Số nguyên tố Mersenne kép

Trong toán học, số nguyên tố Mersenne kép hay số nguyên tố Mersenne đúp là số nguyên tố có dạng sau:

$M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1$

trong đó p là số nguyên tố và M_p là số nguyên tố Mersenne.

Các giá trị đầu tiên

M_{M_{2}}=2^{3}-1=7

M_{M_{3}}=2^{7}-1=127

M_{M_{5}}=2^{31}-1=2.147.483.647

M_{M_{7}}=2^{127}-1=170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727

(theo OEIS)

Ban đầu người ta cho rằng M_{M_p} là nguyên tố với mọi M_p là số nguyên tố, tuy nhiên người ta đã chứng minh được những số sau là hợp số:

M_{M_{13}}=2^{2^{13}-1}-1=2^{8.191}-1\approx 5,45374\times 10^{2.465}

(1953, Wheeler)

M_{M_{17}}=2^{2^{17}-1}-1=2^{131.071}-1\approx 2,00707\times 10^{39.456}

(1957, bội của 1768 × 2¹⁷ - 1)

M_{M_{19}}=2^{2^{19}-1}-1=2^{524.287}-1\approx 1,29819\times 10^{157.826}

(1957, bội của 120 × 2¹⁹ - 1)

M_{M_{31}}=2^{2^{31}-1}-1=2^{2.147.483.647}-1\approx 8,80805\times 10^{646.456.992}

Một câu hỏi đang được đặt ra: Liệu tập số nguyên tố Mersenne đúp là vô hạn?

Hiện nay người ta vẫn chưa thể xác định được câu trả lời do giá trị tiếp theo:

M_{M_{61}}=2^{2.305.843.009.213.693.951}-1

có tới 694 127 911 065 419 642 chữ số trong hệ thập phân, vượt quá khả năng tính toán hiện tại của máy tính điện tử (hiểu theo nghĩa là kiểm tra bằng kiểm tra Lucas-Lehmer cho số Mersenne).

Dãy số Catalan - Mersenne

Là dãy số do Catalan đề xuất, có dạng:

{\begin{cases}C_{0}=2\\C_{n+1}=2^{C_{n}}-1,&{\mbox{khi }}n\geq \ 0\end{cases}}

Một câu hỏi đang được đặt ra: Dãy này chứa toàn số nguyên tố chăng?

Các giá trị từ C₀ đến C₃ đương nhiên là số nguyên tố, C₄ = 2¹²⁷ - 1 cũng là số nguyên tố.

Tuy nhiên C₅ lại có tới khoảng $5,1218\times 10^{37}$ chữ số, vượt quá xa khả năng tính toán của máy tính điện tử nên vẫn chưa kiểm tra được, do đó vấn đề trên vẫn là một câu hỏi mở.

Xem thêm

Số nguyên tố Mersenne

Tham khảo

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

x t s Phân loại các số nguyên tố
Theo công thức	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Mersenne kép ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Giai thừa ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Carol $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Theo dãy số nguyên	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Phân hoạch Bell Motzkin
Theo tính chất	(Cặp Wieferich) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson May rủi May mắn Ramanujan Pillai Chính quy Mạnh Stern Siêu trội (đối với đường cong elliptic) Siêu trội (trong thuyết Ánh trăng) Tốt Siêu phàm Higgs Fortune
Phụ thuộc vào hệ số	May mắn Nhị diện Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Hoán vị Vòng Rút ngắn được Strobogrammatic Tối thiểu Yếu Đầy đủ Đơn nhất Nguyên thủy Smarandache–Wellin
Theo mô hình	Sinh đôi ( $p, p + 2$ ) Chuỗi bộ đôi ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Bộ tam ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Bộ tứ ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) Bộ k Họ hàng ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain ( $p, 2 p + 1$ ) chuỗi Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) An toàn ( $p, (p - 1)/2$ ) Trong cấp số cộng ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, \dots$ ) Đối xứng ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
Theo kích thước	Hàng nghìn (1,000+ chữ số) Hàng chục nghìn (10,000+ chữ số) Hàng triệu (1,000,000+ chữ số) Lớn nhất từng biết
Số phức	Số nguyên tố Eisenstein Số nguyên tố Gauss
Hợp số	Số giả nguyên tố Số gần nguyên tố Số nửa nguyên tố Giữa các nguyên tố
Chủ đề liên quan	Số có thể nguyên tố Số nguyên tố cấp công nghiệp Số nguyên tố bất chính Công thức của số nguyên tố Khoảng cách nguyên tố
50 số nguyên tố đầu	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
Danh sách số nguyên tố